As equações nos exercícios 1- 11 a seguir são superfícies. Para cada uma delas
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos xOy, os traços com os planos coordenados,
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados,
(iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
y^2=4 z

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a superfície no espaço tridimensional dada por
y^2 = 4z
O objetivo é (i) identificar o tipo de superfície, (ii) achar seus traços nos planos coordenados xOy, xOz e yOz, (iii) analisar os traços em planos paralelos a esses planos coordenados e (iv) esboçar a forma geral no sistema Oxyz.

Passo 2

Para identificar o tipo de superfície, note que não aparece a variável x na equação. Portanto a curva definida por
y^2 = 4z
no plano yOz se “estende” uniformemente ao longo do eixo x. A curva y^2=4z é uma parábola no plano yOz que se abre para z>0. Como não há dependência de x, a superfície é um cilindro parabólico de eixo paralelo ao eixo x.

Passo 3

Traços com os planos coordenados:
Para cada plano, substituímos a respectiva coordenada por zero.
Para o plano xOy (onde z=0):
y^2 = 4cdot 0 Longrightarrow y^2=0 Longrightarrow y=0
Logo o traço é a reta y=0 no plano xOy (isto é, o eixo x).
Para o plano xOz (onde y=0):
0^2 = 4z Longrightarrow z=0
O traço é a reta z=0 no plano xOz (novamente o eixo x).
Para o plano yOz (onde x=0):
y^2 = 4z,
que é exatamente a parábola padrão no plano yOz.

Passo 4

Traços em planos paralelos aos planos coordenados:
Em planos z=k (paralelos a xOy):
y^2 = 4k
Se k<0, não há interseção. Se k=0, reduz a reta y=0. Se k>0, temos
y = pm 2raizk,
duas retas paralelas ao eixo x localizadas em y=pm 2raizk.
Em planos y=h (paralelos a xOz):
h^2 = 4z Longrightarrow z = h^24
Para cada valor fixo h, surge uma reta paralela ao eixo x no plano y=h, à altura z=h^2/4.
Em planos x=c (paralelos a yOz):
y^2 = 4z
permanece a mesma parábola para todo c.

Passo 5

Como esboço tridimensional, imagine uma parábola y^2=4z no plano yOz abrindo para cima em z>=0. Essa parábola é “esticada” uniformemente ao longo de todo o eixo x, formando um cilindro parabólico cujo eixo é paralelo a x e cujas geratrizes são retas paralelas a x.

Resposta

i) É um cilindro parabólico de eixo paralelo ao eixo x (seção em yOz dada por y^2=4z).
ii) Traços com os planos coordenados:
– em xOy ( z=0): reta y=0;
– em xOz ( y=0): reta z=0;
– em yOz ( x=0): parábola y^2=4z.
iii) Traços em planos paralelos:
– em z=k: para k>0, retas y=pm2raizk; para k=0, reta y=0; para k<0, vazio;
– em y=h: reta paralela a x em z=h^2/4;
– em x=c: parábola y^2=4z.
iv) Esboço: cilindro parabólico que se abre para z>0, estendido ao longo do eixo x.

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