As equações nos exercícios 1- 11 a seguir são superfícies. Para cada uma delas
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos
, os traços com os planos coordenados,
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados,
(iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados,
(iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a superfície no espaço tridimensional dada por
O objetivo é (i) identificar o tipo de superfície, (ii) achar seus traços nos planos coordenados
,
e
, (iii) analisar os traços em planos paralelos a esses planos coordenados e (iv) esboçar a forma geral no sistema
.
Passo 2
Para identificar o tipo de superfície, note que não aparece a variável
na equação. Portanto a curva definida por
no plano
se “estende” uniformemente ao longo do eixo
. A curva
é uma parábola no plano
que se abre para
. Como não há dependência de
, a superfície é um cilindro parabólico de eixo paralelo ao eixo
.
Passo 3
Traços com os planos coordenados:
Para cada plano, substituímos a respectiva coordenada por zero.
Para cada plano, substituímos a respectiva coordenada por zero.
Para o plano
(onde
):
Logo o traço é a reta
no plano
(isto é, o eixo
).
Para o plano
(onde
):
O traço é a reta
no plano
(novamente o eixo
).
Para o plano
(onde
):
que é exatamente a parábola padrão no plano
.
Passo 4
Traços em planos paralelos aos planos coordenados:
Em planos
(paralelos a
):
Se
, não há interseção. Se
, reduz a reta
. Se
, temos
duas retas paralelas ao eixo
localizadas em
.
Em planos
(paralelos a
):
Para cada valor fixo
, surge uma reta paralela ao eixo
no plano
, à altura
.
Em planos
(paralelos a
):
permanece a mesma parábola para todo
.
Passo 5
Como esboço tridimensional, imagine uma parábola
no plano
abrindo para cima em
. Essa parábola é “esticada” uniformemente ao longo de todo o eixo
, formando um cilindro parabólico cujo eixo é paralelo a
e cujas geratrizes são retas paralelas a
.
Resposta
i) É um cilindro parabólico de eixo paralelo ao eixo
(seção em
dada por
).
ii) Traços com os planos coordenados:
– em (
): reta
;
– em (
): reta
;
– em (
): parábola
.
iii) Traços em planos paralelos:
– em : para
, retas
; para
, reta
; para
, vazio;
– em : reta paralela a
em
;
– em : parábola
.
iv) Esboço: cilindro parabólico que se abre para , estendido ao longo do eixo
.
ii) Traços com os planos coordenados:
– em
– em
– em
iii) Traços em planos paralelos:
– em
– em
– em
iv) Esboço: cilindro parabólico que se abre para