As equações nos exercícios 1- 11 a seguir são superfícies. Para cada uma delas
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos
, os traços com os planos coordenados,
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados,
(iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados,
(iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo e o esboço da superfície quádricas dada por
Vamos (i) identificar o tipo de superfície, (ii) obter os traços nos planos coordenados
,
,
, (iii) estudar os traços em planos paralelos a esses, e (iv) esboçar em 3D.
Passo 2
Reescrevendo
como
vemos que se trata de um paraboloide elíptico (neste caso circular, pois os coeficientes de
e
são iguais) com vértice na origem e eixo de simetria paralelo ao eixo
, abrindo para
.
Passo 3
Traços com os planos coordenados:
No plano (plano
), a equação fica
No plano
ou seja
uma parábola com vértice na origem e concavidade para
.
No plano (plano
), a equação fica
No plano
cuja única solução é
e
, portanto o traço é apenas o ponto
.
No plano (plano
), a equação fica
No plano
ou seja
outra parábola com vértice na origem e concavidade para
.
Passo 4
Traços com planos paralelos aos coordenados:
Para (paralelo a
), obtemos
Para
ou seja círculos de raio
quando
(vazio para
).
Para (paralelo a
), a equação vira
Para
uma família de parábolas no plano paralelo a
, cada uma com vértice em
e concavidade para
.
Para (paralelo a
), a equação vira
Para
uma família de parábolas no plano paralelo a
, cada uma com vértice em
e concavidade para
.
Passo 5
Esboço tridimensional:
A superfície é um paraboloide circular com vértice na origem, eixo paralelo a e “boca” voltada para
. As seções horizontais
são círculos crescentes, e as seções verticais em planos
ou
são parábolas deslocadas.
A superfície é um paraboloide circular com vértice na origem, eixo paralelo a
Resposta
(i) Paraboloide elíptico circular de equação
vértice em
e eixo
.
(ii) Traços:
– No (
):
(parábola).
– No (
): ponto
.
– No (
):
(parábola).
(iii) Em : círculos de raio
(
).
Em ou
: parábolas
e
, respectivamente.
(iv) Esboço 3D: paraboloide circular abrindo para valores positivos de .
(ii) Traços:
– No
– No
– No
(iii) Em
Em
(iv) Esboço 3D: paraboloide circular abrindo para valores positivos de