As equações nos exercícios 1- 11 a seguir são superfícies. Para cada uma delas
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos xOy, os traços com os planos coordenados,
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados,
(iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
x^2+z^2-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo e o esboço da superfície quádricas dada por
x^2 + z^2 - 4y = 0
Vamos (i) identificar o tipo de superfície, (ii) obter os traços nos planos coordenados xOy, xOz, yOz, (iii) estudar os traços em planos paralelos a esses, e (iv) esboçar em 3D.

Passo 2

Reescrevendo
x^2 + z^2 - 4y = 0
como
y = tfrac14l(x^2 + z^2r),
vemos que se trata de um paraboloide elíptico (neste caso circular, pois os coeficientes de x^2 e z^2 são iguais) com vértice na origem e eixo de simetria paralelo ao eixo Oy, abrindo para y>0.

Passo 3

Traços com os planos coordenados:
No plano z=0 (plano xOy), a equação fica
x^2 - 4y = 0,
ou seja
y = tfrac14,x^2,
uma parábola com vértice na origem e concavidade para y>0.
No plano y=0 (plano xOz), a equação fica
x^2 + z^2 = 0,
cuja única solução é x=0 e z=0, portanto o traço é apenas o ponto (0,0,0).
No plano x=0 (plano yOz), a equação fica
z^2 - 4y = 0,
ou seja
y = tfrac14,z^2,
outra parábola com vértice na origem e concavidade para y>0.

Passo 4

Traços com planos paralelos aos coordenados:
Para y = k (paralelo a xOz), obtemos
x^2 + z^2 = 4k,
ou seja círculos de raio 2raizk quando k>=0 (vazio para k<0).
Para x = k (paralelo a yOz), a equação vira
z^2 - 4y = -,k^2 Longrightarrow y = z^2 + k^24,
uma família de parábolas no plano paralelo a yOz, cada uma com vértice em l(k,tfrack^24,0r) e concavidade para y>0.
Para z = k (paralelo a xOy), a equação vira
x^2 - 4y = -,k^2 Longrightarrow y = x^2 + k^24,
uma família de parábolas no plano paralelo a xOy, cada uma com vértice em l(0,tfrack^24,kr) e concavidade para y>0.

Passo 5

Esboço tridimensional:
A superfície é um paraboloide circular com vértice na origem, eixo paralelo a Oy e “boca” voltada para y>0. As seções horizontais y=k são círculos crescentes, e as seções verticais em planos x=k ou z=k são parábolas deslocadas.

Resposta

(i) Paraboloide elíptico circular de equação
y = tfrac14(x^2 + z^2),
vértice em (0,0,0) e eixo Oy.
(ii) Traços:
– No xOy ( z=0): y=x^2/4 (parábola).
– No xOz ( y=0): ponto (0,0,0).
– No yOz ( x=0): y=z^2/4 (parábola).
(iii) Em y=k: círculos de raio 2raizk ( k>=0).
Em x=k ou z=k: parábolas
,y=(z^2+k^2)/4 e ,y=(x^2+k^2)/4, respectivamente.
(iv) Esboço 3D: paraboloide circular abrindo para valores positivos de y.

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