Prova 3-2024.2
Geometria Analítica
Prof. Mathieu Molitor
Exercício 1. O plano está munido de um sistema de coordenadas cartesianas Sigma=O, mathscrB=e1, e2, com mathscrB ortonormal. Sejam alpha e beta dois números reais, com -pi4<beta<pi4, e seja Calpha, beta a cônica cuja equação é dada por:
0=A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F
onde
l A=12 cos ^2(beta)+alpha sen^2(beta) B=-(alpha-12) sen(2 beta) C=12 sen^2(beta)+alpha cos ^2(beta), D=-cos (beta) E=-sen(beta) F=-12
Calcule as coordenadas do(s) foco(s) de C-1,-pi / 8 e C1, pi / 8 em relação a Sigma.
Dica: usando a fórmula cos (2 x)=2 cos ^2(x)-1, x in R, mostre que cos (pi8)= 12 raiz2+raiz2 e sen(pi8)=12 raiz2-raiz2.

Passo 1

O enunciado pede os focos da cônica
0 = A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F
para os casos alpha=-1,;beta=-tfracpi8 e alpha=1,;beta=tfracpi8, onde
A=tfrac12cos^2beta+alphasin^2beta, B=-(alpha-tfrac12)sin(2beta), C=tfrac12sin^2beta+alphacos^2beta, D=-cosbeta,;E=-sinbeta,;F=-tfrac12
O conteúdo é redução de cônicas por rotação e translação de eixos para chegar à forma canônica, daí achar semi-eixos e focos.

Passo 2

Fazemos a rotação de eixos
Usando a forma de e verifica-se que a parte quadrática e linear vira

Passo 3

Reescrevendo e completando o quadrado em u:
12l(u^2-2ur)+alpha v^2-tfrac12=0 ;Longrightarrow; (u-1)^2 + 2alpha,v^2 = 2
Dividindo por 2 obtemos a forma canônica:
(u-1)^22 + alpha,v^2 = 1

Passo 4

Para alpha=1 é elipse com
(u-1)^22 + v^2 = 1,
logo a^2=2,;b^2=1, foco em (u,v)=(1pm c,0) com
c=raiza^2-b^2=raiz2-1=1
Para alpha=-1 é hipérbole com
(u-1)^22 - v^2 = 1,
aqui a^2=2,;b^2=1 e
c=raiza^2+b^2=raiz2+1=raiz3,
focos em (u,v)=(1pmraiz3,0).

Passo 5

Voltando a :
Como o centro em é , cada foco vai em
Usando
e .

Resposta

Para C1,pi/8 ( alpha=1,beta=tfracpi8) os focos são
(0,0) e l(2costfracpi8,;2sintfracpi8r) =l(raiz2+raiz2,;raiz2-raiz2r)
Para C-1,-pi/8 ( alpha=-1,beta=-tfracpi8) os focos são
l((1+raiz3)costfracpi8,;-(1+raiz3)sintfracpi8r) e l((1-raiz3)costfracpi8,;-(1-raiz3)sintfracpi8r)

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