Prova 3-2024.2
Geometria Analítica
Prof. Mathieu Molitor
Exercício 1. O plano está munido de um sistema de coordenadas cartesianas Sigma=O, mathscrB=e1, e2, com mathscrB ortonormal. Sejam alpha e beta dois números reais, com -pi4<beta<pi4, e seja Calpha, beta a cônica cuja equação é dada por:
0=A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F
onde
l A=12 cos ^2(beta)+alpha sen^2(beta) B=-(alpha-12) sen(2 beta) C=12 sen^2(beta)+alpha cos ^2(beta), D=-cos (beta) E=-sen(beta) F=-12
Elimine o termo misto por meio de uma rotação.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
0 = A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F
com
A&=tfrac12cos^2beta + alphasin^2beta, B&= -(alpha-tfrac12)sin(2beta), C&=tfrac12sin^2beta + alphacos^2beta, D&=-cosbeta, E=-sinbeta, F=-tfrac12,
e pede eliminar o termo misto xy por rotação de um ângulo phi. Vamos usar a fórmula clássica da rotação de eixos em Geometria Analítica.

Passo 2

Para eliminar o termo misto escolhemos phi tal que
tan(2phi) ;=;B,A-C,,

Passo 3

Calculamos
A - C = l(tfrac12cos^2beta + alphasin^2betar) - l(tfrac12sin^2beta + alphacos^2betar) = l(tfrac12-alphar)cos(2beta),
e
B = -(alpha-tfrac12)sin(2beta)
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tan(2phi) =-(alpha-tfrac12)sin(2beta)(tfrac12-alpha)cos(2beta) =(alpha-tfrac12)sin(2beta)(alpha-tfrac12)cos(2beta) =tan(2beta),
de onde concluímos
phi = beta,
já que -tfracpi4<beta<tfracpi4.

Passo 4

A rotação de ângulo
Sob essa mudança, o coeficiente do termo (x’y’] fica zero.

Passo 5

Usando as fórmulas de transformação dos coeficientes, obtemos para a parte quadrática e linear:
A'=tfrac12, B'=0, C'=alpha,
D' = Dcosbeta + Esinbeta = -1, E' = -Dsinbeta + Ecosbeta = 0,
e F' = F = -tfrac12. Portanto a equação em (x',y') é
tfrac12,x'^2 + alpha,y'^2 - x' - tfrac12 = 0

Resposta

A rotação de ângulo beta elimina o termo misto e leva a cônica à forma
tfrac12,x'^2 + alpha,y'^2 - x' - tfrac12 = 0

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