Prova 3-2024.2
Geometria Analítica
Prof. Mathieu Molitor
Exercício 1. O plano está munido de um sistema de coordenadas cartesianas
, com
ortonormal. Sejam
e
dois números reais, com
, e seja
a cônica cuja equação é dada por:
onde
Elimine o termo misto por meio de uma rotação.
Geometria Analítica
Prof. Mathieu Molitor
Exercício 1. O plano está munido de um sistema de coordenadas cartesianas
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
com
e pede eliminar o termo misto
xy por rotação de um ângulo
phi . Vamos usar a fórmula clássica da rotação de eixos em Geometria Analítica.
Passo 2
Para eliminar o termo misto escolhemos
phi tal que
Passo 3
Calculamos
e
Logo
de onde concluímos
já que
-tfracpi4<beta<tfracpi4 .
Passo 4
A rotação de ângulo
Sob essa mudança, o coeficiente do termo (x’y’] fica zero.
Passo 5
Usando as fórmulas de transformação dos coeficientes, obtemos para a parte quadrática e linear:
e
F' = F = -tfrac12 . Portanto a equação em
(x',y') é
Resposta
A rotação de ângulo
beta elimina o termo misto e leva a cônica à forma