As equações nos exercícios 1- 11 a seguir são superfícies. Para cada uma delas
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos , os traços com os planos coordenados,
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados,
(iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
Passo 1
O enunciado pede para a superfície definida por
ser analisada em quatro aspectos:
(i) identificar qual é a superfície;
(ii) estudar e esboçar os traços nos planos coordenados , e ;
(iii) estudar os traços em planos paralelos a esses planos coordenados;
(iv) esboçar a superfície em .
Vamos usar conceitos de seções de superfícies e simetria da geometria espacial.
Passo 2
Para (i) notamos que a equação
é a equação canônica de uma esfera de centro na origem e raio .
Passo 3
Para (ii) vamos fixar cada coordenada nula e estudar o que sobra:
Plano : sobram , que é um círculo de raio em .
Plano : sobram , círculo de raio em .
Plano : sobram , círculo de raio em .
Em cada um deles o traço é um círculo centrado na origem do respectivo plano coordenado.
Passo 4
Para (iii) consideramos planos paralelos, ou seja, [z=k), ou com constante . Em cada caso aparece
Esses traços são círculos de raio . À medida que cresce de até , o raio desses círculos diminui de até , colapsando num ponto quando .
Passo 5
Para (iv) o esboço da esfera em Oxyz é dado por um globo centrado na origem de raio 5. Destacamos os pontos de interseção com os eixos:
(pm5,0,0), (0,pm5,0), (0,0,pm5)
Graficamente, desenhe círculos máximos nos planos xOy, xOz e yOz (os “equadores” e “meridianos”) e complete a forma arredondada, respeitando a simetria esférica.
Resposta
(i) É uma esfera de centro O(0,0,0) e raio 5.
(ii) Traços nos planos coordenados são círculos de raio 5.
(iii) Traços em planos x=k, y=k ou z=k são círculos de raio raiz25-k^2 para |k|<=5.
(iv) O esboço em Oxyz mostra um globo de raio 5 com interseções nos eixos em (pm5,0,0), (0,pm5,0), (0,0,pm5).