As equações nos exercícios 1- 11 a seguir são superfícies. Para cada uma delas
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos xOy, os traços com os planos coordenados,
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados,
(iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
x^2+y^2+z^2=25

Passo 1

O enunciado pede para a superfície definida por
x^2+y^2+z^2=25
ser analisada em quatro aspectos:
(i) identificar qual é a superfície;
(ii) estudar e esboçar os traços nos planos coordenados xOy, yOz e zOx;
(iii) estudar os traços em planos paralelos a esses planos coordenados;
(iv) esboçar a superfície em Oxyz.
Vamos usar conceitos de seções de superfícies e simetria da geometria espacial.

Passo 2

Para (i) notamos que a equação
x^2+y^2+z^2=25
é a equação canônica de uma esfera de centro na origem O(0,0,0) e raio 5.

Passo 3

Para (ii) vamos fixar cada coordenada nula e estudar o que sobra:
  1. Plano z=0: sobram ,x^2+y^2=25, que é um círculo de raio 5 em xOy.
  2. Plano y=0: sobram ,x^2+z^2=25, círculo de raio 5 em xOz.
  3. Plano x=0: sobram ,y^2+z^2=25, círculo de raio 5 em yOz.
Em cada um deles o traço é um círculo centrado na origem do respectivo plano coordenado.

Passo 4

Para (iii) consideramos planos paralelos, ou seja, [z=k), ou com constante . Em cada caso aparece
Esses traços são círculos de raio . À medida que cresce de até , o raio desses círculos diminui de até , colapsando num ponto quando .

Passo 5

Para (iv) o esboço da esfera em Oxyz é dado por um globo centrado na origem de raio 5. Destacamos os pontos de interseção com os eixos:
(pm5,0,0), (0,pm5,0), (0,0,pm5)
Graficamente, desenhe círculos máximos nos planos xOy, xOz e yOz (os “equadores” e “meridianos”) e complete a forma arredondada, respeitando a simetria esférica.

Resposta

(i) É uma esfera de centro O(0,0,0) e raio 5.
(ii) Traços nos planos coordenados são círculos de raio 5.
(iii) Traços em planos x=k, y=k ou z=k são círculos de raio raiz25-k^2 para |k|<=5.
(iv) O esboço em Oxyz mostra um globo de raio 5 com interseções nos eixos em (pm5,0,0), (0,pm5,0), (0,0,pm5).

Exercícios relacionados