Prova 3-2024.2
Geometria Analítica
Prof. Mathieu Molitor
Exercício 1. O plano está munido de um sistema de coordenadas cartesianas Sigma=O, mathscrB=e1, e2, com mathscrB ortonormal. Sejam alpha e beta dois números reais, com -pi4<beta<pi4, e seja Calpha, beta a cônica cuja equação é dada por:
0=A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F
onde
l A=12 cos ^2(beta)+alpha sen^2(beta) B=-(alpha-12) sen(2 beta) C=12 sen^2(beta)+alpha cos ^2(beta), D=-cos (beta) E=-sen(beta) F=-12
Qual é a natureza da cônica? (É uma reta? Uma elipse? …?) Dica: a resposta depende de alpha.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica em coordenadas cartesianas com equação
0 = A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F
onde A, B e C dependem de alpha e beta. Para classificar a cônica usamos o discriminante
De<a = B^2 - 4 A C
Sabemos que
  • se De<a<0 temos elipse (ou círculo),
  • se De<a=0 temos parábola,
  • se De<a>0 temos hipérbole.

Passo 2

Calcular B^2. Como
B = -l(alpha - tfrac12r)sen(2beta),
segue
B^2 = l(alpha - tfrac12r)^2,sen^2(2beta) = 4l(alpha - tfrac12r)^2,sen^2betacos^2beta

Passo 3

Calcular 4AC. Temos
A = tfrac12cos^2beta + alpha,sen^2beta, C = tfrac12sen^2beta + alpha,cos^2beta
Um cálculo (expandindo e usando sen^4beta+cos^4beta=1-2sen^2betacos^2beta) dá
4,A,C = 4alpha^2,sen^2betacos^2beta +2alphal(sen^4beta+cos^4betar) +sen^2betacos^2beta =2alpha + sen^2betacos^2beta

Passo 4

Agora
De<a = B^2 - 4AC = 4l(alpha - tfrac12r)^2 , sen^2beta cos^2beta - l(2alpha + sen^2beta cos^2betar)
Reagrupando e simplificando obtém-se
De<a = sen^2beta cos^2beta - 2alpha = tfrac14 sen^2(2beta) - 2alpha

Passo 5

Condição para cada tipo de cônica:
De<a<0;Long<=ftrightarrow;alpha>sen^2(2beta)8 Rightarrowelipse,
De<a=0;Long<=ftrightarrow;alpha=sen^2(2beta)8 Rightarrowparábola, á
De<a>0;Long<=ftrightarrow;alpha<sen^2(2beta)8 Rightarrowhipérbo<= é

Resposta

A natureza de Calpha,beta depende de alpha segundo
elipse, & alpha>dfracsen^2(2beta)8, parábola, & alpha=dfracsen^2(2beta)8, hipérbo<=, & alpha<dfracsen^2(2beta)8 áé

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