Prova 3-2024.2
Geometria Analítica
Prof. Mathieu Molitor
Exercício 1. O plano está munido de um sistema de coordenadas cartesianas Sigma=O, mathscrB=e1, e2, com mathscrB ortonormal. Sejam alpha e beta dois números reais, com -pi4<beta<pi4, e seja Calpha, beta a cônica cuja equação é dada por:
0=A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F
onde
l A=12 cos ^2(beta)+alpha sen^2(beta) B=-(alpha-12) sen(2 beta) C=12 sen^2(beta)+alpha cos ^2(beta), D=-cos (beta) E=-sen(beta) F=-12
Esboçe C-1,-pi / 8, C0,0 e C1, pi / 8.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
0 = A,x^2+B,x y+C,y^2+D,x+E,y+F
com
A=tfrac12cos^2!beta+alphasin^2!beta, B=-(alpha-tfrac12)sin(2beta), C=tfrac12sin^2!beta+alphacos^2!beta, D=-cosbeta, E=-sinbeta, F=-tfrac12
Os parâmetros são alphain-1,0,1 e betain-tfracpi8,0,tfracpi8. A ideia é primeiro estudar o caso beta=0 (sem rotação), completar o quadrado para ver a forma canônica
e classificá-la segundo alpha. Depois, para betaneq0, basta rotacionar essa forma canônica em beta.

Passo 2

Caso beta=0:
A=tfrac12, B=0, C=alpha, D=-1, E=0, F=-tfrac12
A equação vira
tfrac12x^2+alpha y^2-x-tfrac12=0 Longrightarrow x^2+2alpha y^2-2x-1=0
Completa-se o quadrado em x:
(x-1)^2-1+2alpha y^2-1=0 ;Longrightarrow; (x-1)^2+2alpha y^2=2

Passo 3

Classificação para beta=0:
alpha=-1;:; (x-1)^2-2y^2=2 é uma hipérbole centrada em (1,0), semieixos a=raiz2, b=1 e assíntotas
y=pm1raiz2(x-1)
alpha=0;:; (x-1)^2=2 é degenerada, duas retas paralelas
x=1pmraiz2
alpha=1;:; (x-1)^2+2y^2=2 é elipse centrada em (1,0) com semieixos horizontais a=raiz2 e vertical b=1.

Passo 4

Agora repomos a rotação de ângulo beta:
C-1,-pi/8 é a hipérbole do passo anterior ( alpha=-1) girada de -tfracpi8 ( 22,5circ no sentido horário).
C0,0 é exatamente as duas retas x=1pmraiz2 (sem rotação).
C1,pi/8 é a elipse do passo anterior ( alpha=1) girada de +tfracpi8 ( 22,5circ no sentido anti-horário).

Passo 5

Esboço qualitativo (centro em (1,0)):
C-1,-pi/8: hipérbole com ramos abertos para direções aproximadamente ao longo de pm eixos do sistema rotacionado em -22,5^circ.
C0,0: duas retas verticais em x=1pmraiz2.
C1,pi/8: elipse alongada horizontalmente antes da rotação, depois girada +22,5^circ.

Resposta

C-1,-pi/8: hipérbole centrada em (1,0), semieixos a=raiz2, b=1, assíntotas em y-0=pmtfrac1raiz2(x-1), rotacionada -tfracpi8.
C0,0: retas paralelas x=1pmraiz2.
C1,pi/8: elipse centrada em (1,0), semieixos a=raiz2, b=1, rotacionada +tfracpi8.

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