Prova 3-2024.2
Geometria Analítica
Prof. Mathieu Molitor
Exercício 1. O plano está munido de um sistema de coordenadas cartesianas , com ortonormal. Sejam e dois números reais, com , e seja a cônica cuja equação é dada por:
Os parâmetros são alphain-1,0,1 e betain-tfracpi8,0,tfracpi8. A ideia é primeiro estudar o caso beta=0 (sem rotação), completar o quadrado para ver a forma canônica
e classificá-la segundo alpha. Depois, para betaneq0, basta rotacionar essa forma canônica em beta.
Classificação para beta=0:
– alpha=-1;:;(x-1)^2-2y^2=2 é uma hipérbole centrada em (1,0), semieixos a=raiz2, b=1 e assíntotas
y=pm1raiz2(x-1)
– alpha=0;:;(x-1)^2=2 é degenerada, duas retas paralelas
x=1pmraiz2
– alpha=1;:;(x-1)^2+2y^2=2 é elipse centrada em (1,0) com semieixos horizontais a=raiz2 e vertical b=1.
Passo 4
Agora repomos a rotação de ângulo beta:
– C-1,-pi/8 é a hipérbole do passo anterior (alpha=-1) girada de -tfracpi8 (22,5circ no sentido horário).
– C0,0 é exatamente as duas retas x=1pmraiz2 (sem rotação).
– C1,pi/8 é a elipse do passo anterior (alpha=1) girada de +tfracpi8 (22,5circ no sentido anti-horário).
Passo 5
Esboço qualitativo (centro em (1,0)):
– C-1,-pi/8: hipérbole com ramos abertos para direções aproximadamente ao longo de pm eixos do sistema rotacionado em -22,5^circ.
– C0,0: duas retas verticais em x=1pmraiz2.
– C1,pi/8: elipse alongada horizontalmente antes da rotação, depois girada +22,5^circ.
Resposta
– C-1,-pi/8: hipérbole centrada em (1,0), semieixos a=raiz2, b=1, assíntotas em y-0=pmtfrac1raiz2(x-1), rotacionada -tfracpi8.
– C0,0: retas paralelas x=1pmraiz2.
– C1,pi/8: elipse centrada em (1,0), semieixos a=raiz2, b=1, rotacionada +tfracpi8.