As equações nos exercícios 1-11 a seguir são superfícies. Para cada uma delas
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos xOy, os traços com os planos coordenados,
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados, (iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
z^2=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z^2=x^2+y^2
e pede: (i) que tipo de superfície é, (ii) traços com os planos coordenados xOy, yOz, xOz, (iii) traços com planos paralelos a esses, e (iv) esboço 3D.

Passo 2

Para identificar a superfície, note que a equação é homogênea de grau 2 e simétrica em x e y. É a equação clássica de um cone duplo de revolução em torno do eixo z, com vértice em (0,0,0) e semi-ângulo de abertura de 45^circ.

Passo 3

Traços com os planos coordenados:

No plano xOy (isto é, z=0):
0^2=x^2+y^2 Longrightarrow x^2+y^2=0
só há o ponto (0,0,0).

No plano yOz ( x=0):
z^2=0^2+y^2 Longrightarrow z^2=y^2
que dá duas retas z=y e z=-y no plano x=0.

No plano xOz ( y=0):
z^2=x^2+0^2 Longrightarrow z^2=x^2
duas retas z=x e z=-x no plano y=0.

Passo 4

Traços com planos paralelos:

Para z=k (constante):
k^2=x^2+y^2
que é um círculo de raio lvert krvert em cada plano paralelo a xOy.

Para x=k:
z^2=k^2+y^2 Longrightarrow z^2-y^2=k^2
que é uma hipérbole no plano paralelo a yOz.

Para y=k:
z^2=x^2+k^2 Longrightarrow z^2-x^2=k^2
outra hipérbole no plano paralelo a xOz.

Passo 5

Esboço tridimensional: é um cone duplo com vértice em (0,0,0), aberto para cima e para baixo, formando ângulo de 45^circ com o eixo z. As “fatias” horizontais são círculos, e as verticais são retas no caso x=0 ou y=0, ou hipérboles para planos deslocados.

Resposta

A superfície ,z^2=x^2+y^2 é um cone duplo de revolução em torno de z, com vértice em (0,0,0) e semi-ângulo de 45^circ.

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