As equações nos exercícios 1-11 a seguir são superfícies. Para cada uma delas
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos
, os traços com os planos coordenados,
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados, (iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados, (iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede: (i) que tipo de superfície é, (ii) traços com os planos coordenados
,
,
, (iii) traços com planos paralelos a esses, e (iv) esboço 3D.
Passo 2
Para identificar a superfície, note que a equação é homogênea de grau 2 e simétrica em
e
. É a equação clássica de um cone duplo de revolução em torno do eixo
, com vértice em
e semi-ângulo de abertura de
.
Passo 3
Traços com os planos coordenados:
No plano (isto é,
):
No plano
só há o ponto
.
No plano (
):
No plano
que dá duas retas
e
no plano
.
No plano (
):
No plano
duas retas
e
no plano
.
Passo 4
Traços com planos paralelos:
Para (constante):
Para
que é um círculo de raio
em cada plano paralelo a
.
Para :
Para
que é uma hipérbole no plano paralelo a
.
Para :
Para
outra hipérbole no plano paralelo a
.
Passo 5
Esboço tridimensional: é um cone duplo com vértice em
, aberto para cima e para baixo, formando ângulo de
com o eixo
. As “fatias” horizontais são círculos, e as verticais são retas no caso
ou
, ou hipérboles para planos deslocados.
Resposta
A superfície
é um cone duplo de revolução em torno de
, com vértice em
e semi-ângulo de
.