Obtenha a visão geral do plano que passa pelos pontos A=(3,-1,2), B =(2,0,4) e C= (4,-2,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos
A=(3,-1,2), B=(2,0,4) e C=(4,-2,2).
O conteúdo necessário é geometria no espaço: para achar a equação de um plano usamos um vetor normal n obtido pelo produto vetorial de dois vetores paralelos ao plano e a forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Construímos dois vetores no plano:
AB = B-A = (2-3,;0-(-1),;4-2) = (-1,,1,,2),
AC = C-A = (4-3,;-2-(-1),;2-2) = (1,,-1,,0)

Passo 3

O vetor normal n é dado por
n ;=;ABtimesAC
Calculando o produto vetorial:
ABtimesAC = i & j & k -1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 = i(1cdot0 - 2cdot(-1)) - j((-1)cdot0 - 2cdot1) + k((-1)cdot(-1) - 1cdot1) = 2,i + 2,j + 0,k

Passo 4

Podemos simplificar o normal dividindo por 2:
n = (1,,1,,0)

Passo 5

Usamos a forma ponto-normal do plano:
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
Substituindo n=(1,1,0) e A=(3,-1,2):
(1,1,0)cdotl((x-3),,(y+1),,(z-2)r)=0 ;Longrightarrow;1,(x-3)+1,(y+1)+0,(z-2)=0
Isso dá
x - 3 + y + 1 = 0 ;Longrightarrow; x + y - 2 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
x + y - 2 = 0

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