Na festa de São Cosme e Damião é tradição na Bahia distribuir doces para as crianças. Tia Nástacia como é conhecida a senhora que faz isso há trinta anos em frente à Igreja do Senhor do Bonfim comprou 140 balas de banana, 120 paçoquinha, 100 chicletes de morango e 80 cocadas. Agora ela precisa da nossa ajuda, pois deve fazer pacotinhos, sendo que cada um deles deve conter apenas um tipo de doce, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo que todos os doces devem ser utilizados, o número total de pacotinhos será de:

Passo 1

O enunciado dá as quantidades de doces e pede o número total de pacotinhos quando: cada pacotinho contém apenas um tipo de doce, todos os pacotinhos têm o mesmo número de itens, esse número deve ser o maior possível e todos os doces são usados. Os dados são:
  • 140 balas de banana;
  • 120 paçoquinhas;
  • 100 chicletes de morango;
  • 80 cocadas.
O que se pede: o número total de pacotinhos ao dividir todas essas quantidades em pacotes com o mesmo número de itens (o maior possível), usando todos os doces.

Passo 2

Vamos traduzir a condição para matemática. Se cada pacotinho tem s itens (mesmo s para todos os tipos) e todos os doces são usados, então s deve dividir exatamente cada uma das quantidades:
s \mid 140,\qquad s \mid 120,\qquad s \mid 100,\qquad s \mid 80.
Como queremos o maior s possível, estamos procurando o máximo divisor comum (MDC), isto é, o maior inteiro s que divide todas essas quantidades. Depois que encontrarmos s, o número de pacotinhos será
\frac{140}{s}+\frac{120}{s}+\frac{100}{s}+\frac{80}{s}.

Passo 3

O que é o MDC (ou GCD)? É o maior número inteiro que divide todos os números dados sem deixar resto. Há dois jeitos comuns de achar o MDC: fatoração em primos ou o algoritmo de Euclides. O algoritmo de Euclides é rápido e prático sem fatorar tudo: para dois números a e b (com a\ge b), calcula-se a=bq+r e então o MDC de a e b é o mesmo que o MDC de b e r. Repetindo até o resto ser zero, o último divisor não-nulo é o MDC.

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Euclides passo a passo para encontrar o MDC de 140,120,100,80.
Primeiro compute o MDC de 140 e 120:
140 = 120\cdot 1 + 20,
portanto \gcd(140,120)=\gcd(120,20).
Agora
120 = 20\cdot 6 + 0,
logo \gcd(120,20)=20. Assim \gcd(140,120)=20.
Agora incorporamos os outros números: \gcd(20,100).
100 = 20\cdot 5 + 0,
portanto \gcd(20,100)=20.
E com 80:
80 = 20\cdot 4 + 0,
logo \gcd(20,80)=20.
Concluímos que o MDC comum a todos é s=20.

Passo 5

Isso significa que cada pacotinho terá s=20 itens. Agora calculamos quantos pacotinhos de cada tipo aparecem:
\frac{140}{20}=7,\qquad \frac{120}{20}=6,\qquad \frac{100}{20}=5,\qquad \frac{80}{20}=4.

Passo 6

Somando os pacotinhos de todos os tipos:
7+6+5+4=22.
Pronto — com 20 itens por pacotinho usa-se todo o estoque e o número total de pacotinhos é 22. Vai dar certo, respira — e já tá na mão pra prova!

Resposta

22 pacotinhos.

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