Na festa de São Cosme e Damião é tradição na Bahia distribuir doces para as crianças. Tia Nástacia como é conhecida a senhora que faz isso há trinta anos em frente à Igreja do Senhor do Bonfim comprou 140 balas de banana, 120 paçoquinha, 100 chicletes de morango e 80 cocadas. Agora ela precisa da nossa ajuda, pois deve fazer pacotinhos, sendo que cada um deles deve conter apenas um tipo de doce, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo que todos os doces devem ser utilizados, o número total de pacotinhos será de:
Passo 1
O enunciado dá as quantidades de doces e pede o número total de pacotinhos quando: cada pacotinho contém apenas um tipo de doce, todos os pacotinhos têm o mesmo número de itens, esse número deve ser o maior possível e todos os doces são usados. Os dados são:
-
balas de banana; -
paçoquinhas; -
chicletes de morango; -
cocadas.
O que se pede: o número total de pacotinhos ao dividir todas essas quantidades em pacotes com o mesmo número de itens (o maior possível), usando todos os doces.
Passo 2
Vamos traduzir a condição para matemática. Se cada pacotinho tem
itens (mesmo
para todos os tipos) e todos os doces são usados, então
deve dividir exatamente cada uma das quantidades:
Como queremos o maior
possível, estamos procurando o máximo divisor comum (MDC), isto é, o maior inteiro
que divide todas essas quantidades. Depois que encontrarmos
, o número de pacotinhos será
Passo 3
O que é o MDC (ou GCD)? É o maior número inteiro que divide todos os números dados sem deixar resto. Há dois jeitos comuns de achar o MDC: fatoração em primos ou o algoritmo de Euclides. O algoritmo de Euclides é rápido e prático sem fatorar tudo: para dois números
e
(com
), calcula-se
e então o MDC de
e
é o mesmo que o MDC de
e
. Repetindo até o resto ser zero, o último divisor não-nulo é o MDC.
Passo 4
Aplicando o algoritmo de Euclides passo a passo para encontrar o MDC de
.
Primeiro compute o MDC de
e
:
portanto
.
Agora
Agora
logo
. Assim
.
Agora incorporamos os outros números:
.
portanto
.
E com
:
logo
.
Concluímos que o MDC comum a todos é
.
Passo 5
Isso significa que cada pacotinho terá
itens. Agora calculamos quantos pacotinhos de cada tipo aparecem:
Passo 6
Somando os pacotinhos de todos os tipos:
Pronto — com
itens por pacotinho usa-se todo o estoque e o número total de pacotinhos é
. Vai dar certo, respira — e já tá na mão pra prova!
Resposta
22 pacotinhos.