Exercício 5 Seja P3 o espaço dos polinômios de grau <= 3 e considere
p(t)=1+4 t-2 t^2+t^3, q(t)=-1+9 t-3 t^2+2 t^3, w(t)=-5+6 t+t^3, h(t)=5+7 t-5 t^2+2 t^3.
(a) Verifique que p, q, w, h é l.d.
(b) Encontre uma combinação linear a p+b q+c w+d h=0 em que algum dos coeficientes a, b, c, d é diferente de 0
© Encontre um elemento de p, q, w, h que é combinação linear dos outros e escreva essa combinação linear.

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos no espaço P3 com os polinômios p,q,w,h e verificar dependência linear, isto é, achar uma combinação a p+b q+c w+d h=0 não trivial e depois expressar um dos polinômios como combinação dos outros.

Passo 2

Escrevemos a relação a p(t)+b q(t)+c w(t)+d h(t)=0 e igualamos coeficientes de cada monômio 1, t, t^2, t^3 a zero, obtendo o sistema:
a - b -5c +5d =0, 4a +9b +6c +7d =0, -2a -3b +0c -5d =0, a +2b +c +2d =0

Passo 3

Usamos a primeira equação para expressar a=b+5c-5d e substituímos nas demais, que todas reduzem à mesma equação b+2c-d=0. Assim obtemos em função dos parâmetros c,d:
a=3c-4d, b=d-2c

Passo 4

Como há soluções não triviais (por exemplo, tomando c=1, d=0), concluímos que p,q,w,h é linearmente dependente e a combinação correspondente é
3p-2q+1w+0h=0

Passo 5

Da combinação 3p -2q +w=0 isolamos w=-3p+2q. Isso mostra que w é combinação linear de p e q.

Resposta

(a) O conjunto é linearmente dependente. (b) Uma combinação não trivial é 3p-2q+w=0. © Daí w=-3p+2q.

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