Exercício 1 Seja V um espaço vetorial. Suponha que lang<=cdot, cdotrang<=1 elang<=cdot, cdotrang<=2 são produtos internos em V.
Mostre que lang<=cdot, cdotrang<=1+lang<=cdot, cdotrang<=2 também é produto interno.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se tivermos dois produtos internos em um espaço vetorial V, digamos lang<=cdot,cdotrang<=1 e lang<=cdot,cdotrang<=2, então a soma deles, definida por
lang<= u,vrang<=:=lang<= u,vrang<=1+lang<= u,vrang<=2,
é também um produto interno. Vamos usar a definição de produto interno (linearidade no primeiro argumento, simetria e positividade) e o fato de que cada um dos dois originais já satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, verificamos a linearidade no primeiro argumento. Seja u,v,win V e alpha escalar. Como cada produto interno é bilinear, temos:
lang<= u+v,wrang<= = lang<= u+v,wrang<=1 + lang<= u+v,wrang<=2 = (lang<= u,wrang<=1+lang<= v,wrang<=1)+(lang<= u,wrang<=2+lang<= v,wrang<=2) = lang<= u,wrang<=+lang<= v,wrang<=
E
lang<= alpha u,vrang<= = lang<= alpha u,vrang<=1+lang<= alpha u,vrang<=2 = alphalang<= u,vrang<=1+alphalang<= u,vrang<=2 = alpha(lang<= u,vrang<=1+lang<= u,vrang<=2) = alphalang<= u,vrang<=

Passo 3

Agora garantimos a simetria. Para quaisquer u,vin V:
lang<= v,urang<= = lang<= v,urang<=1+lang<= v,urang<=2 = lang<= u,vrang<=1+lang<= u,vrang<=2 = lang<= u,vrang<=
Aqui usamos que cada produto interno original é simétrico.

Passo 4

Por fim, checamos a positividade definida. Para vin V não nulo, cada produto interno original satisfaz
lang<= v,vrang<=1>0
e
lang<= v,vrang<=2>0
Assim
lang<= v,vrang<= = lang<= v,vrang<=1+lang<= v,vrang<=2>0,
e claramente lang<= v,vrang<==0 só ocorre se v=0.

Passo 5

Como mostramos linearidade, simetria e positividade definida para a soma, concluímos que ela satisfaz todas as propriedades de produto interno em V.

Resposta

O produto interno definido por lang<= u,vrang<==lang<= u,vrang<=1+lang<= u,vrang<=2 satisfaz linearidade, simetria e positividade, logo é de fato um produto interno em V.

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