Exercício 1 Seja
um espaço vetorial. Suponha que
são produtos internos em
.
Mostre que
também é produto interno.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se tivermos dois produtos internos em um espaço vetorial V, digamos
e
, então a soma deles, definida por
é também um produto interno. Vamos usar a definição de produto interno (linearidade no primeiro argumento, simetria e positividade) e o fato de que cada um dos dois originais já satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, verificamos a linearidade no primeiro argumento. Seja
e
escalar. Como cada produto interno é bilinear, temos:
E
Passo 3
Agora garantimos a simetria. Para quaisquer
:
Aqui usamos que cada produto interno original é simétrico.
Passo 4
Por fim, checamos a positividade definida. Para
não nulo, cada produto interno original satisfaz
e
Assim
e claramente
só ocorre se
.
Passo 5
Como mostramos linearidade, simetria e positividade definida para a soma, concluímos que ela satisfaz todas as propriedades de produto interno em
.
Resposta
O produto interno definido por
satisfaz linearidade, simetria e positividade, logo é de fato um produto interno em V.