Métodos dos coeficientes a determinar
Resp.:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de coeficientes constantes
e pede a solução geral
. Informações relevantes: o lado direito é um polinômio de grau
(isto é,
); a incógnita é a função
e aparecem derivadas até a terceira ordem.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, que é obtida zerando o termo do lado direito:
Para isso usamos a técnica padrão: substituir
e obter a equação característica. Assim obtemos
Passo 3
Resolvendo a equação característica
Portanto os fatores são
e
. Resolviendo o quadrático:
logo as raízes são
.
Passo 4
Cada raiz
fornece uma solução exponencial
. Como as raízes são simples, a solução geral da homogênea é a combinação linear
Como
, escrevemos
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular
da equação não homogênea. O método dos coeficientes a determinar sugere tentar um polinômio do mesmo tipo do lado direito. O lado direito é um polinômio de grau
, então a tentativa padrão seria
Porém há uma ressonância:
é raiz da característica (corresponde à solução constante), isto significa que termos constantes aparecem na solução homogênea. A regra do método diz multiplicar a tentativa por
, onde
é a multiplicidade da raiz
(aqui
). Portanto multiplicamos por
e tomamos como ansatz
que é
vezes um polinômio de grau
. Vou usar letras maiúsculas
para esses coeficientes a determinar.
Passo 6
Calculamos derivadas de
. Como
, temos:
Expliquei: derive termo a termo usando a regra da potência
.
Passo 7
Substituímos
e suas derivadas na equação diferencial à esquerda:
Agora expandimos e agrupamos por potências de
:
Organizando em ordem decrescente de grau:
Passo 8
Essa expressão deve ser igual ao lado direito
. Igualamos coeficientes dos polinômios termo a termo:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
.
Passo 9
Resolvemos o sistema para
. Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora a terceira equação:
Computei os termos:
e
. Então
logo
Passo 10
Portanto a solução particular encontrada é
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular: