Métodos dos coeficientes a determinar
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=x^{2}+4 x+8
Resp.: y=C_{1}+C_{2} e^{-x}+C_{3} e^{-2 x}+\frac{11}{4} x+\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{6} x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=x^{2}+4x+8
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes: o lado direito é um polinômio de grau 2 (isto é, x^{2}+4x+8); a incógnita é a função y(x) e aparecem derivadas até a terceira ordem.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, que é obtida zerando o termo do lado direito:
y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=0.
Para isso usamos a técnica padrão: substituir y=e^{rx} e obter a equação característica. Assim obtemos
r^{3}+3r^{2}+2r=0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica
r^{3}+3r^{2}+2r=r(r^{2}+3r+2)=0.
Portanto os fatores são r=0 e r^{2}+3r+2=0. Resolviendo o quadrático:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2),
logo as raízes são r=0,\; r=-1,\; r=-2.

Passo 4

Cada raiz r fornece uma solução exponencial e^{rx}. Como as raízes são simples, a solução geral da homogênea é a combinação linear
y_{h}(x)=C_{1}\cdot e^{0\cdot x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}e^{-2x}.
Como e^{0\cdot x}=1, escrevemos
y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}e^{-x}+C_{3}e^{-2x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação não homogênea. O método dos coeficientes a determinar sugere tentar um polinômio do mesmo tipo do lado direito. O lado direito é um polinômio de grau 2, então a tentativa padrão seria
y_{p}(x)=ax^{2}+bx+c.
Porém há uma ressonância: r=0 é raiz da característica (corresponde à solução constante), isto significa que termos constantes aparecem na solução homogênea. A regra do método diz multiplicar a tentativa por x^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz r=0 (aqui s=1). Portanto multiplicamos por x e tomamos como ansatz
y_{p}(x)=A x^{3}+B x^{2}+C x,
que é x vezes um polinômio de grau 2. Vou usar letras maiúsculas A,B,C para esses coeficientes a determinar.

Passo 6

Calculamos derivadas de y_{p}. Como y_{p}(x)=A x^{3}+B x^{2}+C x, temos:
y_{p}^{\prime}(x)=3A x^{2}+2B x+C,
y_{p}^{\prime\prime}(x)=6A x+2B,
y_{p}^{\prime\prime\prime}(x)=6A.
Expliquei: derive termo a termo usando a regra da potência \frac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}.

Passo 7

Substituímos y_{p} e suas derivadas na equação diferencial à esquerda:
y_{p}^{\prime\prime\prime}+3y_{p}^{\prime\prime}+2y_{p}^{\prime} =6A+3(6A x+2B)+2(3A x^{2}+2B x+C).
Agora expandimos e agrupamos por potências de x:
6A+18A x+6B+6A x^{2}+4B x+2C.
Organizando em ordem decrescente de grau:
6A x^{2}+(18A+4B)x+(6A+6B+2C).

Passo 8

Essa expressão deve ser igual ao lado direito x^{2}+4x+8. Igualamos coeficientes dos polinômios termo a termo:
  • Coeficiente de x^{2}: \;6A=1.
  • Coeficiente de x^{1}: \;18A+4B=4.
  • Coeficiente constante: \;6A+6B+2C=8.

Passo 9

Resolvemos o sistema para A,B,C. Da primeira equação:
6A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{6}.
Substituindo A na segunda equação:
18\cdot\frac{1}{6}+4B=4\quad\Rightarrow\quad 3+4B=4\quad\Rightarrow\quad 4B=1\quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{4}.
Agora a terceira equação:
6\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{4}+2C=8.
Computei os termos: 6\cdot\frac{1}{6}=1 e 6\cdot\frac{1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}. Então
1+\frac{3}{2}+2C=8\quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}+2C=8\quad\Rightarrow\quad 2C=8-\frac{5}{2}=\frac{11}{2},
logo
C=\frac{11}{4}.

Passo 10

Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}(x)=\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{4}x^{2}+\frac{11}{4}x.
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}+C_{2}e^{-x}+C_{3}e^{-2x}+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{4}x^{2}+\frac{11}{4}x.

Resposta

y=C_{1}+C_{2}e^{-x}+C_{3}e^{-2x}+\dfrac{11}{4}x+\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{6}x^{3}

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