Equações homogêneas com coeficientes constantes
y^{(4)}+5 y^{\prime \prime}-36 y=0
Resp.: y=C_{1}+C_{2} e^{4 x}+C_{3} e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
y^{(4)}+5y''-36y=0.
Informações dadas e o que se busca:
  • A equação é homogênea (lado direito igual a zero).
  • É linear com coeficientes constantes.
  • Precisamos encontrar todas as soluções da forma geral (solução geral) que contenha quatro constantes arbitrárias, pois é uma EDO de ordem 4.
  • Não há condições iniciais; então entregaremos a solução geral com constantes C_1,C_2,C_3,C_4.

Passo 2

Idéia do método (passo a passo bem didático): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (possivelmente complexo). Por quê? Porque derivando e^{rx} obtemos potências de r multiplicando e^{rx}, o que transforma a EDO em um polinômio em r (o chamado polinômio característico). Substituindo y=e^{rx} na EDO obtemos uma equação para r — as raízes dessa equação determinam os termos da solução geral.

Passo 3

Substituição e obtenção do polinômio característico. Se y=e^{rx} então
y' = r e^{rx},\quad y''=r^2 e^{rx},\quad y^{(4)}=r^4 e^{rx}.
Substituindo na EDO e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero), obtemos o polinômio característico:
r^4 + 5r^2 - 36 = 0.

Passo 4

Resolvendo o polinômio característico com uma substituição que simplifica: seja s=r^2. Então a equação vira a quadrática
s^2 + 5s - 36 = 0.
Resolvemos essa quadrática usando fórmula de Bhaskara. O discriminante é \Delta = 5^2 - 4\cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169. Assim
s = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 \pm 13}{2}.
Logo
s_1 = \frac{-5+13}{2}=4,\qquad s_2=\frac{-5-13}{2}=-9.
Voltando a r (porque s=r^2):
  • De s_1=4 obtemos r=\pm 2.
  • De s_2=-9 obtemos r=\pm 3i (raízes complexas puras).
Também podemos ver a fatoração do polinômio como
r^4+5r^2-36=(r^2-4)(r^2+9)=0,
o que confirma r=\pm2 e r=\pm 3i.

Passo 5

Construindo a solução geral a partir das raízes (explicação didática de como cada tipo de raiz contribui):
  • Para cada raiz real simples r obtemos um termo e^{rx}. Assim, das raízes r=2 e r=-2 vêm os termos e^{2x} e e^{-2x}.
  • Para um par de raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta (aqui \alpha=0 e \beta=3), as soluções reais correspondentes são \cos(\beta x) e \sin(\beta x) multiplicadas por e^{\alpha x}. Como \alpha=0, temos apenas \cos(3x) e \sin(3x).
  • Como todas as raízes são simples (não repetidas), cada raiz gera um termo independente; no total teremos quatro constantes arbitrárias.
Portanto a solução geral é a combinação linear dos quatro termos independentes:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}\cos(3x)+C_{4}\sin(3x),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes reais arbitrárias.

Passo 6

Comentário rápido para a prova (dica prática): ao ver y^{(4)}+5y''-36y=0 pense imediatamente em substituir y=e^{rx} e reduzir para uma quadrática em r^2 — isso é comum quando só aparecem derivadas de ordem par (aqui apenas r^4 e r^2). Ao obter raízes complexas conjugadas, troque por \cos e \sin para escrever solução real. Se alguma raiz fosse múltipla, multiplicaríamos por potências de x (ex.: raiz dupla r dá termos e^{rx} e x e^{rx}) — guarda essa regra na manga.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}\cos(3x)+C_{4}\sin(3x)

Exercícios relacionados