Equações homogêneas com coeficientes constantes
Resp.:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
Informações dadas e o que se busca:
- A equação é homogênea (lado direito igual a zero).
- É linear com coeficientes constantes.
- Precisamos encontrar todas as soluções da forma geral (solução geral) que contenha quatro constantes arbitrárias, pois é uma EDO de ordem
. - Não há condições iniciais; então entregaremos a solução geral com constantes
.
Passo 2
Idéia do método (passo a passo bem didático): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo). Por quê? Porque derivando
obtemos potências de
multiplicando
, o que transforma a EDO em um polinômio em
(o chamado polinômio característico). Substituindo
na EDO obtemos uma equação para
— as raízes dessa equação determinam os termos da solução geral.
Passo 3
Substituição e obtenção do polinômio característico. Se
então
Substituindo na EDO e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos o polinômio característico:
Passo 4
Resolvendo o polinômio característico com uma substituição que simplifica: seja
. Então a equação vira a quadrática
Resolvemos essa quadrática usando fórmula de Bhaskara. O discriminante é
. Assim
Logo
Voltando a
(porque
):
- De
obtemos . - De
obtemos (raízes complexas puras).
Também podemos ver a fatoração do polinômio como
o que confirma
e
.
Passo 5
Construindo a solução geral a partir das raízes (explicação didática de como cada tipo de raiz contribui):
- Para cada raiz real simples
obtemos um termo . Assim, das raízes e vêm os termos e . - Para um par de raízes complexas conjugadas
(aqui e ), as soluções reais correspondentes são e multiplicadas por . Como , temos apenas e . - Como todas as raízes são simples (não repetidas), cada raiz gera um termo independente; no total teremos quatro constantes arbitrárias.
Portanto a solução geral é a combinação linear dos quatro termos independentes:
onde
são constantes reais arbitrárias.
Passo 6
Comentário rápido para a prova (dica prática): ao ver
pense imediatamente em substituir
e reduzir para uma quadrática em
— isso é comum quando só aparecem derivadas de ordem par (aqui apenas
e
). Ao obter raízes complexas conjugadas, troque por
e
para escrever solução real. Se alguma raiz fosse múltipla, multiplicaríamos por potências de
(ex.: raiz dupla
dá termos
e
) — guarda essa regra na manga.