Equações homogêneas com coeficientes constantes
y^{(4)}+y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+3 y=0
( \lambda=-1 \pm i \sqrt{2}, \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} i \sqrt{3} são raízes características)
Resp.: y=e^{-x}\left(C_{1} \cos \sqrt{2} x+C_{2} \sin \sqrt{2} x\right)+e^{\frac{1}{2} x}\left(C_{3} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x+C_{4} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y^{(4)}+y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+3 y=0
e informa as raízes da equação característica: \lambda=-1\pm i\sqrt{2} e \lambda=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{1}{2}i\sqrt{3}.
A pergunta é: obter a solução geral (a família de soluções) dessa equação diferencial usando essas informações.

Passo 2

Ideia do método (passo-a-passo do que faremos). Para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{\lambda x}. Substituindo y=e^{\lambda x} na equação, cada derivada gera um fator \lambda, então obtemos a equação algébrica (a equação característica)
\lambda^{4}+\lambda^{3}+2\lambda^{2}-\lambda+3=0.
Explicando por que isso funciona: se y=e^{\lambda x} então y^{(k)}=\lambda^{k}e^{\lambda x}. Ao substituir todas as derivadas na equação diferencial, o fator comum e^{\lambda x} sai fatorado e sobra exatamente o polinômio acima multiplicando e^{\lambda x}. Para que essa expressão seja zero para todo x precisamos que o polinômio em \lambda seja zero, ou seja, \lambda deve ser raiz da equação característica.

Passo 3

Trabalhando com raízes complexas. O enunciado já deu as raízes complexas em pares conjugados:
  • primeira dupla: \lambda=-1\pm i\sqrt{2}. Aqui o termo real é a=-1 e a parte imaginária é b=\sqrt{2}.
  • segunda dupla: \lambda=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{1}{2}i\sqrt{3}. Aqui a=\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Vou explicar por que cada par complexo gera duas soluções reais independentes e como construí-las.

Passo 4

Transformando raízes complexas em soluções reais. Se \lambda=a+ib é raiz complexa, então e^{\lambda x}=e^{ax}e^{ibx}=e^{ax}(\cos bx + i\sin bx) é solução complexa. As partes real e imaginária são soluções reais da equação linear real. Assim, de um par \lambda=a\pm ib obtemos duas soluções reais independentes:
e^{ax}\cos(bx)\quad\text{e}\quad e^{ax}\sin(bx).
Explicando didaticamente: escrever e^{(a+ib)x} em termos de \cos e \sin usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. Como a equação diferencial tem coeficientes reais, a parte real e a parte imaginária de qualquer solução complexa também são soluções reais. Essas duas são linearmente independentes porque uma é even/simétrica no seno/cosseno e a outra é odd — na prática, para ordem 2 geram duas constantes arbitrárias.

Passo 5

Aplicando isso às raízes dadas:
  • Para \lambda=-1\pm i\sqrt{2} temos a=-1, b=\sqrt{2}. As duas soluções reais correspondentes são
e^{-x}\cos(\sqrt{2}\,x)\quad\text{e}\quad e^{-x}\sin(\sqrt{2}\,x).
  • Para \lambda=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{1}{2}i\sqrt{3} temos a=\tfrac{1}{2}, b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. As duas soluções reais correspondentes são
e^{\frac{1}{2}x}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\quad\text{e}\quad e^{\frac{1}{2}x}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big).

Passo 6

Formando a solução geral. A equação é de ordem 4, então sua solução geral tem quatro constantes arbitrárias e é combinação linear das quatro soluções independentes encontradas. Assim
y(x)=C_{1}e^{-x}\cos(\sqrt{2}\,x)+C_{2}e^{-x}\sin(\sqrt{2}\,x)+C_{3}e^{\frac{1}{2}x}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_{4}e^{\frac{1}{2}x}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias reais.

Passo 7

Breve justificativa de validade e independência: cada termo e^{\lambda x} com \lambda raiz da característica satisfaz a equação porque, como explicado, o operador diferencial aplicado a e^{\lambda x} vira p(\lambda)e^{\lambda x} onde p é o polinômio característico; se p(\lambda)=0 então o termo é solução. As combinações lineares de soluções são soluções (linearidade do operador). Como as quatro raízes são distintas (não há multiplicidade), obtemos quatro soluções linearmente independentes, formando a base da solução geral.

Resposta

y=e^{-x}\left(C_{1}\cos\sqrt{2}\,x+C_{2}\sin\sqrt{2}\,x\right)+e^{\frac{1}{2}x}\left(C_{3}\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x+C_{4}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)

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