Equações homogêneas com coeficientes constantes
(
são raízes características)
Resp.:
(
Resp.:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
e informa as raízes da equação característica:
e
.
A pergunta é: obter a solução geral (a família de soluções) dessa equação diferencial usando essas informações.
A pergunta é: obter a solução geral (a família de soluções) dessa equação diferencial usando essas informações.
Passo 2
Ideia do método (passo-a-passo do que faremos). Para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
. Substituindo
na equação, cada derivada gera um fator
, então obtemos a equação algébrica (a equação característica)
Explicando por que isso funciona: se
então
. Ao substituir todas as derivadas na equação diferencial, o fator comum
sai fatorado e sobra exatamente o polinômio acima multiplicando
. Para que essa expressão seja zero para todo
precisamos que o polinômio em
seja zero, ou seja,
deve ser raiz da equação característica.
Passo 3
Trabalhando com raízes complexas. O enunciado já deu as raízes complexas em pares conjugados:
- primeira dupla:
. Aqui o termo real é e a parte imaginária é . - segunda dupla:
. Aqui e .
Vou explicar por que cada par complexo gera duas soluções reais independentes e como construí-las.
Passo 4
Transformando raízes complexas em soluções reais. Se
é raiz complexa, então
é solução complexa. As partes real e imaginária são soluções reais da equação linear real. Assim, de um par
obtemos duas soluções reais independentes:
Explicando didaticamente: escrever
em termos de
e
usando a fórmula de Euler
. Como a equação diferencial tem coeficientes reais, a parte real e a parte imaginária de qualquer solução complexa também são soluções reais. Essas duas são linearmente independentes porque uma é even/simétrica no seno/cosseno e a outra é odd — na prática, para ordem 2 geram duas constantes arbitrárias.
Passo 5
Aplicando isso às raízes dadas:
- Para
temos , . As duas soluções reais correspondentes são
- Para
temos , . As duas soluções reais correspondentes são
Passo 6
Formando a solução geral. A equação é de ordem 4, então sua solução geral tem quatro constantes arbitrárias e é combinação linear das quatro soluções independentes encontradas. Assim
onde
são constantes arbitrárias reais.
Passo 7
Breve justificativa de validade e independência: cada termo
com
raiz da característica satisfaz a equação porque, como explicado, o operador diferencial aplicado a
vira
onde
é o polinômio característico; se
então o termo é solução. As combinações lineares de soluções são soluções (linearidade do operador). Como as quatro raízes são distintas (não há multiplicidade), obtemos quatro soluções linearmente independentes, formando a base da solução geral.