Métodos dos coeficientes a determinar
y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=e^{x}+x^{2}
Resp.: y=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-x}+C_{3} e^{-2 x}-\frac{5}{4}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{6} x e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem não homogênea
y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=e^{x}+x^{2}.
Pede-se a solução geral y(x). Informações relevantes: o lado direito é a soma de duas funções simples, e^{x} e um polinômio de grau 2; a equação é com coeficientes constantes e de ordem 3. Não há outras informações ou restrições.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada
y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo vem a equação característica
r^{3}+2r^{2}-r-2=0.
Testando raízes inteiras óbvias, r=1 satisfaz porque
1^{3}+2\cdot1^{2}-1-2=1+2-1-2=0.
Logo (r-1) é fator; dividimos o polinômio por (r-1) e obtemos
r^{3}+2r^{2}-r-2=(r-1)(r^{2}+3r+2).
O quadrático fatora como
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2).
Portanto as raízes são r=1,\,-1,\,-2. Cada raiz simples dá um expoente na solução homogênea:
y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}e^{-2x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora encontramos uma solução particular y_{p} para a parte não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. A ideia: supor uma forma para y_{p} com parâmetros desconhecidos, derivar e ajustar esses parâmetros igualando ambos os lados.
Regras práticas para escolher a forma:
  • Para o termo polinomial x^{2} tentamos um polinômio de mesmo grau: Ax^{2}+Bx+C.
  • Para o termo e^{x} normalmente tentaríamos Ke^{x}, mas como e^{x} já é solução da homogênea (raiz r=1), há ressonância: multiplicamos por x. Assim tentamos D x e^{x}.
    Somando, tomamos o palpite
y_{p}=Ax^{2}+Bx+C+Dx e^{x},
com A,B,C,D a determinar.

Passo 4

Calculamos derivadas de cada parte. Para o polinômio P(x)=Ax^{2}+Bx+C:
P'(x)=2Ax+B,\qquad P''(x)=2A,\qquad P'''(x)=0.
Para a parte Q(x)=Dx e^{x} usamos produto repetido:
(Dx e^{x})' = D(1+x)e^{x},
(Dx e^{x})'' = D(2+x)e^{x},
(Dx e^{x})''' = D(3+x)e^{x}.

Passo 5

Somamos as contribuições para y_{p}:
y_{p}'=(2Ax+B)+D(1+x)e^{x},
y_{p}''=2A+D(2+x)e^{x},
y_{p}'''=0+D(3+x)e^{x}.
Agora montamos o lado esquerdo da equação diferencial L[y]=y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y aplicando-o a y_{p}.

Passo 6

Calculamos L[y_{p}] separando a parte polinomial e a parte com e^{x}.
Primeiro a parte polinomial (provém de P):
\begin{aligned} &\;P''' + 2P'' - P' - 2P \\\ &= 0 + 2(2A) - (2Ax+B) - 2(Ax^{2}+Bx+C)\\\ &= -2A x^{2} +(-2A-2B)x + (4A - B - 2C). \end{aligned}
Agora a parte exponencial (provém de Dx e^{x}):
\begin{aligned} &(D(3+x)e^{x}) + 2(D(2+x)e^{x}) - (D(1+x)e^{x}) - 2(Dx e^{x}) \\\ &= D\big[(3+x)+(4+2x)-(1+x)-2x\big]e^{x} \\\ &= D\cdot 6\,e^{x}. \end{aligned}
Portanto
L[y_{p}]=\big(-2A x^{2}+(-2A-2B)x+(4A-B-2C)\big) + 6D\,e^{x}.

Passo 7

Como queremos L[y_{p}]=e^{x}+x^{2}, igualamos os coeficientes de polinômios e exponenciais:
Para x^{2}:
-2A=1 \quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{2}.
Para x:
-2A-2B=0 \quad\Rightarrow\quad -2(-\tfrac{1}{2})-2B=0 \Rightarrow 1-2B=0 \Rightarrow B=\tfrac{1}{2}.
Para constante:
4A-B-2C=0 \quad\Rightarrow\quad 4(-\tfrac{1}{2})-\tfrac{1}{2}-2C=0
\Rightarrow -2-\tfrac{1}{2}-2C=0 \Rightarrow -\tfrac{5}{2}-2C=0 \Rightarrow C=-\tfrac{5}{4}.
Para o termo exponencial:
6D=1 \quad\Rightarrow\quad D=\tfrac{1}{6}.

Passo 8

Assim a solução particular é
y_{p}=-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{5}{4}+\tfrac{1}{6}x e^{x}.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}e^{-2x}-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{5}{4}+\tfrac{1}{6}x e^{x}.
Você pode conferir derivando e substituindo na equação original; os coeficientes que encontramos anulam todos os termos extras e deixam exatamente e^{x}+x^{2} do lado direito. Boa! Você chegou até o fim — complicado no começo, mas o método é só praticar a escolha do palpite e igualar coeficientes.

Resposta

y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}e^{-2x}-\tfrac{5}{4}+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{6}x e^{x}

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