Métodos dos coeficientes a determinar
Resp.:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem não homogênea
Pede-se a solução geral
. Informações relevantes: o lado direito é a soma de duas funções simples,
e um polinômio de grau
; a equação é com coeficientes constantes e de ordem
. Não há outras informações ou restrições.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada
Para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
. Substituindo vem a equação característica
Testando raízes inteiras óbvias,
satisfaz porque
Logo
é fator; dividimos o polinômio por
e obtemos
O quadrático fatora como
Portanto as raízes são
. Cada raiz simples dá um expoente na solução homogênea:
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora encontramos uma solução particular
para a parte não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. A ideia: supor uma forma para
com parâmetros desconhecidos, derivar e ajustar esses parâmetros igualando ambos os lados.
Regras práticas para escolher a forma:
- Para o termo polinomial
tentamos um polinômio de mesmo grau: . - Para o termo
normalmente tentaríamos , mas como já é solução da homogênea (raiz ), há ressonância: multiplicamos por . Assim tentamos .
Somando, tomamos o palpite
com
a determinar.
Passo 4
Calculamos derivadas de cada parte. Para o polinômio
:
Para a parte
usamos produto repetido:
Passo 5
Somamos as contribuições para
:
Agora montamos o lado esquerdo da equação diferencial
aplicando-o a
.
Passo 6
Calculamos
separando a parte polinomial e a parte com
.
Primeiro a parte polinomial (provém de
):
Agora a parte exponencial (provém de
):
Portanto
Passo 7
Como queremos
, igualamos os coeficientes de polinômios e exponenciais:
Para
:
Para
:
Para constante:
Para o termo exponencial:
Passo 8
Assim a solução particular é
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Você pode conferir derivando e substituindo na equação original; os coeficientes que encontramos anulam todos os termos extras e deixam exatamente
do lado direito. Boa! Você chegou até o fim — complicado no começo, mas o método é só praticar a escolha do palpite e igualar coeficientes.