Equações e inequações
Resolva \sqrt{2 x+4}=10-x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação radical
\sqrt{2x+4} = 10 - x
Este é um problema de equações envolvendo raízes, em que vamos precisar (1) estabelecer o domínio onde a raiz está definida e o lado direito faz sentido, (2) isolar a raiz e elevar ao quadrado, (3) resolver a equação resultante e (4) checar possíveis soluções extraviadas.

Passo 2

Precisamos que o radicando seja não-negativo e que o lado direito também seja não-negativo (pois a raiz quadrada sempre dá valor >=0). Logo:
2x + 4 \ge 0
10 - x \ge 0
Da primeira desigualdade vem x \ge -2, e da segunda vem x \le 10. Assim, só podemos aceitar soluções em
-2 \le x \le 10.

Passo 3

Com o domínio em mãos, isolamos a raiz (já está isolada) e elevamos os dois lados ao quadrado:
(\sqrt{2x+4})^2 = (10 - x)^2
2x + 4 = x^2 - 20x + 100

Passo 4

Reorganizando em forma de equação quadrática:
x^2 - 20x + 100 - 2x - 4 = 0
x^2 - 22x + 96 = 0
Calculando o discriminante:
\Delta = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 484 - 384 = 100
Então as raízes são
x = \frac{22 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{22 \pm 10}{2}
Logo x_1 = 16 e x_2 = 6.

Passo 5

Verificamos o domínio -2 \le x \le 10:
  • Para x=16 temos 16>10, fica fora do domínio e é extraviada.
  • Para x=6 temos -2 \le 6 \le 10 e, de fato,
\sqrt{2\cdot6+4} = \sqrt{16} = 4, \quad 10 - 6 = 4.
Portanto, só x=6 satisfaz a equação original.

Resposta

6

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