Esboce a curva
y=x^2raizx+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função $ y = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}} $. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções, domínio, interceptos e comportamento da função (como ela cresce ou decresce). Vou te guiar passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Determinar o domínio da função
Primeiro, precisamos descobrir para quais valores de $ x $ a função está definida. Isso envolve olhar para o denominador, que é $ \sqrt{x + 1} $. Sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Ou seja:
x
Então, o domínio da função é $ x \geq -1 $.

Passo 3

Encontrar os interceptos
Vamos achar onde a função intercepta os eixos $ x $ e $ y $.
  • Intercepto com o eixo $ y $: É quando $ x = 0 $.
x
Então, a função passa pela origem y .
  • Interceptos com o eixo $ x $: São os valores de $ x $ quando $ y = 0 $.
Para y , o numerador precisa ser zero, então $ x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 $.
Portanto, o único intercepto é na origem x = 0 .

Passo 4

Analisar o comportamento da função para $ x $ próximo aos limites do domínio
Vamos ver como a função se comporta quando $ x $ se aproxima dos extremos do domínio.
  • Quando $ x $ se aproxima de x pela direita:
x
A função tende ao infinito positivo.
  • Quando $ x $ tende ao infinito:
x
A função também tende ao infinito positivo.

Passo 5

Determinar a derivada para analisar crescimento e declínio
Vamos derivar a função para saber onde ela está aumentando ou diminuindo.
A função é:
y = x^2raizx + 1 = x^2(x + 1)^-1/2
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
y' = 2x(x + 1)^-1/2 + x^2 ( -12 )(x + 1)^-3/2(1) = 2xraizx + 1 - x^22(x + 1)^3/2
Vamos simplificar:
Agora, vamos encontrar onde $ y’ = 0 $:
y' = 4x(x + 1) - x^22(x + 1)^3/2 = 4x^2 + 4x - x^22(x + 1)^3/2 = 3x^2 + 4x2(x + 1)^3/2
Mas lembrando que o domínio é $ x \geq -1 $, então $ x = -\frac{4}{3} $ está fora do domínio. Portanto, só consideramos $ x = 0 $.

Passo 6

Analisar a concavidade com a segunda derivada
Para entender melhor o comportamento da função, vamos calcular a segunda derivada.
A primeira derivada é:
y' = 3x^2 + 4x2(x + 1)^3/2
Derivando novamente:
y'' = (6x + 4)(2)(x + 1)^3/2 - (3x^2 + 4x)(3)(x + 1)^1/24(x + 1)^3
Simplificando:
Vamos simplificar mais, mas para o esboço, já dá para entender a concavidade geral sem entrar em detalhes calculados.

Passo 7

Plotar pontos adicionais para ter uma visão mais clara do gráfico
Vamos calcular alguns valores de $ y $ para diferentes $ x $ no domínio $ x \geq -1 $:
  • $ x = -1 $:
y
  • $ x = 0 $:
x
  • $ x = 1 $:
x >= -1
  • $ x = 2 $:
x = -1
  • $ x = 4 $:
y = (-1)^2raiz-1 + 1 = 10 Rightarrow y to +infty
Esses pontos nos ajudam a visualizar como a função cresce à medida que $ x $ aumenta.

Passo 8

Esboçar o gráfico com base nas informações coletadas
  • A função está definida para $ x \geq -1 $.
  • Ela passa pela origem x >= -1 .
  • Quando $ x $ se aproxima de (0, 0), $ y $ tende ao infinito positivo.
  • Conforme $ x $ aumenta, $ y $ também cresce sem limites.
  • A derivada mostra que a função está crescendo a partir de $ x = 0 $.
  • Pontos calculados ajudam a traçar o crescimento da curva.
Com todas essas informações, podemos desenhar uma curva que começa muito alta perto de $ x = -1 $, desce até passar pela origem e continua subindo conforme $ x $ aumenta.

Resposta

O esboço da curva $ y = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}} $ apresenta-se definida para $ x \geq -1 $, com a função passando pela origem y = x^2raizx + 1 , tendendo ao infinito positivo quando $ x $ se aproxima de x >= -1 e crescendo continuamente para valores maiores de $ x $. A curva desce inicialmente de $ x = -1 $ até $ x = 0 $ e depois sobe de forma crescente à medida que $ x $ aumenta.

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