Esboce a curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função $ y = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}} $. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções, domínio, interceptos e comportamento da função (como ela cresce ou decresce). Vou te guiar passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Determinar o domínio da função
Primeiro, precisamos descobrir para quais valores de $ x $ a função está definida. Isso envolve olhar para o denominador, que é $ \sqrt{x + 1} $. Sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Ou seja:
Então, o domínio da função é $ x \geq -1 $.
Passo 3
Encontrar os interceptos
Vamos achar onde a função intercepta os eixos $ x $ e $ y $.
- Intercepto com o eixo $ y $: É quando $ x = 0 $.
Então, a função passa pela origem
.
- Interceptos com o eixo $ x $: São os valores de $ x $ quando $ y = 0 $.
Para
, o numerador precisa ser zero, então $ x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 $.
Portanto, o único intercepto é na origem
.
Passo 4
Analisar o comportamento da função para $ x $ próximo aos limites do domínio
Vamos ver como a função se comporta quando $ x $ se aproxima dos extremos do domínio.
- Quando $ x $ se aproxima de
pela direita:
A função tende ao infinito positivo.
- Quando $ x $ tende ao infinito:
A função também tende ao infinito positivo.
Passo 5
Determinar a derivada para analisar crescimento e declínio
Vamos derivar a função para saber onde ela está aumentando ou diminuindo.
A função é:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Vamos simplificar:
Agora, vamos encontrar onde $ y’ = 0 $:
Mas lembrando que o domínio é $ x \geq -1 $, então $ x = -\frac{4}{3} $ está fora do domínio. Portanto, só consideramos $ x = 0 $.
Passo 6
Analisar a concavidade com a segunda derivada
Para entender melhor o comportamento da função, vamos calcular a segunda derivada.
A primeira derivada é:
Derivando novamente:
Simplificando:
Vamos simplificar mais, mas para o esboço, já dá para entender a concavidade geral sem entrar em detalhes calculados.
Passo 7
Plotar pontos adicionais para ter uma visão mais clara do gráfico
Vamos calcular alguns valores de $ y $ para diferentes $ x $ no domínio $ x \geq -1 $:
- $ x = -1 $:
- $ x = 0 $:
- $ x = 1 $:
- $ x = 2 $:
- $ x = 4 $:
Esses pontos nos ajudam a visualizar como a função cresce à medida que $ x $ aumenta.
Passo 8
Esboçar o gráfico com base nas informações coletadas
- A função está definida para $ x \geq -1 $.
- Ela passa pela origem
. - Quando $ x $ se aproxima de
, $ y $ tende ao infinito positivo. - Conforme $ x $ aumenta, $ y $ também cresce sem limites.
- A derivada mostra que a função está crescendo a partir de $ x = 0 $.
- Pontos calculados ajudam a traçar o crescimento da curva.
Com todas essas informações, podemos desenhar uma curva que começa muito alta perto de $ x = -1 $, desce até passar pela origem e continua subindo conforme $ x $ aumenta.
Resposta
O esboço da curva $ y = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}} $ apresenta-se definida para $ x \geq -1 $, com a função passando pela origem
, tendendo ao infinito positivo quando $ x $ se aproxima de
e crescendo continuamente para valores maiores de $ x $. A curva desce inicialmente de $ x = -1 $ até $ x = 0 $ e depois sobe de forma crescente à medida que $ x $ aumenta.