As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético B, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
ll nabla cdot E=0 & nabla cdot B=0 nabla times E=-1c partial Bpartial t & nabla times B=1c partial Epartial t
onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
nabla times(nabla times B)=-1c^2 partial^2 Bpartial^2 t

Passo 1

O enunciado apresenta as equações de Maxwell no vácuo sem fontes, que são
nablacdotE=0, nablacdotB=0,
nablatimesE =-1c,partialBpartial t, nablatimesB =1c,partialEpartial t
Queremos mostrar que
nablatimesl(nablatimesBr) =-1c^2, partial^2Bpartial t^2
O conteúdo usado será cálculo vetorial (curl) e derivação temporal.

Passo 2

Aplicamos o operador nablatimes na equação
nablatimesB =1c,partialEpartial t
para obter
nablatimesl(nablatimesBr) =nablatimes!l(1c,partialEpartial tr)

Passo 3

Como c é constante, podemos trocar a ordem da derivada temporal com o curl:
nablatimesl(nablatimesBr) =1c,partialpartial t!l(nablatimesEr)

Passo 4

Substituímos a outra equação de Maxwell
nablatimesE =-tfrac1c,tfracpartialBpartial t:
nablatimesl(nablatimesBr) =1c,partialpartial t l(-1c,partialBpartial tr) =-1c^2, partial^2Bpartial t^2

Resposta

nablatimesl(nablatimesBr) =-1c^2, partial^2Bpartial t^2

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