As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético H, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
div E=0, div H=0, rot E=-1c partial Hpartial t, rot H=1c partial Epartial t
em que c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
nabla times(nabla times H)=-1c^2 partial^2 Hpartial t^2.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações de Maxwell em uma região sem cargas nem correntes:
, , e .
Precisamos usar essas expressões e a propriedade de permutação entre derivada temporal e rotacional para chegar a
.

Passo 2

Usamos dentro de . Logo,
pois podemos permutar a derivada em com o operador .

Passo 3

Substituímos nablatimesE=-1cpartial Hpartial t na expressão acima:
nablatimes(nablatimesH) =1cpartialpartial tl(-1cpartial Hpartial tr) =-1c^2partial^2 Hpartial t^2

Resposta

nablatimes(nablatimesH) =-1c^2partial^2 Hpartial t^2

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