As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético H, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
div E=0, div H=0, rot E=-1c partial Hpartial t, rot H=1c partial Epartial t
em que c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
nabla^2 H=1c^2 partial^2 Hpartial t^2.

Passo 1

O enunciado dá as equações de Maxwell num meio sem cargas nem correntes:
e pede para mostrar que satisfaz a equação de onda
Vamos usar cálculo vetorial (especialmente a identidade para ) e as próprias equações de Maxwell.

Passo 2

Lembrando a identidade de cálculo vetorial:
nabla times l(nabla times Hr) = nablal(nablacdotHr) - nabla^2 H
Como por Maxwell em região livre de cargas temos nablacdotH=0, isso reduz para
nabla times l(nabla times Hr) = -,nabla^2 H

Passo 3

Por outro lado, usando a equação , aplicamos em ambos os lados:
Agora usamos para obter
Igualando com o resultado do passo anterior,

Resposta

nabla^2 H = 1c^2,partial^2 Hpartial t^2

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