As equações de Maxwell (em unidades de Heaviside-Lorentz), são dadas pelas seguintes equações:
lll nabla cdot E=rho & ; & nabla cdot B=0 nabla times B-1c partial Epartial t=1c j & ; & nabla times E+1c partial Bpartial t=0
onde E e B são os campos elétrico e magnético, j a densidade corrente elétrica e rho a densidade de carga elétrica. Mostre estas equações são invariantes frente às transformações de Lorentz (Obs: considere um boost apenas na direção x ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as equações de Maxwell em unidades de Heaviside–Lorentz são invariantes sob transformações de Lorentz (boost na direção x). Vamos usar a forma covariante em termos do tensor de campo eletromagnético e da corrente 4-vetor, e o fato de que tensores mantêm suas equações sob transformações de Lorentz.

Passo 2

Em primeiro lugar, escrevemos as equações de Maxwell em forma covariante. Definimos o tensor de campo eletromagnético F^munu e sua dual widetilde F^munu=tfrac12epsilon^munualphabetaFalphabeta. As equações de Maxwell viram
partialmu F^munu = j^nu
e
partialmu widetilde F^munu = 0,
onde j^nu=(rho,,vec j) é a corrente 4-vetor e partialmu=(1/c,partialt,,-vecnabla).

Passo 3

Agora, sob um boost de velocidade v na direção x, qualquer tensor (como F^munu) transforma-se segundo
F'^munu = Lambda^mualpha,Lambda^nubeta,F^alphabeta ,
e o 4-vetor corrente segundo
j'^nu = Lambda^nualpha,j^alpha

Passo 4

Além disso, o operador derivada covariável também é tensorial:
partial'mu = Lambdamu^alpha,partialalpha

Passo 5

Substituindo na equação partial'mu F'^munu = j'^nu, temos
partial'mu F'^munu = Lambdamu^alpha,partialalphal(Lambda^mubetaLambda^nugammaF^betagammar)

Passo 6

Como Lambda é constante (boost inercial), sai da derivada e usamos identidade de ortogonalidade Lambdamu^alphaLambda^mubeta=de. Resultado:
partial'mu F'^munu = partialbetaF^betagamma,Lambda^nugamma = j^gamma,Lambda^nugamma = j'^nu

Passo 7

O mesmo raciocínio vale para partialmuwidetilde F^munu=0. Ou seja, a forma das equações não muda sob a transformação de Lorentz.

Passo 8

Como as equações em forma de tensores se mantêm válidas no sistema primado, concluímos que as equações de Maxwell são invariantes sob boost na direção x.

Resposta

As equações de Maxwell mantêm a forma covariante em partialmu F^munu=j^nu e partialmuwidetilde F^munu=0, e como tensores e 4-vetores são invariantes sob Lorentz, as equações de Maxwell são invariantes frente a um boost na direção x.

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