Uma placa, com massa muito grande, move-se com velocidade uniforme
, na direção da sua normal, num certo referencial inercial. Uma bola é jogada contra a placa com velocidade
, a partir de uma direção que forma um ângulo
com a normal. Considerando que não há recuo, use a relatividade Galileana para mostrar que a bola irá deixar a placa seguindo uma direção que forma, com a normal, um ângulo
e com velocidade
, tal que
Passo 1
Vamos falar o que temos: uma placa de massa enorme (não recua) se move com velocidade ,v, ao longo da sua normal. Uma bola chega com velocidade ,u, formando ângulo ,\theta, e quica sem perder energia. O conteúdo é colisão elástica com parede de massa infinita e usamos a relatividade galileana (bastam transformações de velocidades).
Passo 2
Para simplificar, vamos olhar do referencial da placa (colocamos a placa parada). Usamos a transformação galileana: subtraímos ,v, só na direção normal. A componente normal inicial da bola vira ,v’_x = -u,\cos\theta - v, e a tangencial continua ,v’_y = u,\sin\theta.
Passo 3
No referencial da placa parada a colisão é elástica contra parede fixa: a componente normal inverte de sinal, e a tangencial não se altera. Assim após o choque em seu referencial temos ,v’’_x = -v’_x = u,\cos\theta + v, e ,v’’_y = v’_y = u,\sin\theta.
Passo 4
Voltamos ao referencial inicial (laboratório) somando de novo ,v, na direção normal. Portanto a velocidade final da bola tem componentes ,v_{x,\mathrm{f}} = u,\cos\theta + 2v, e ,v_{y,\mathrm{f}} = u,\sin\theta.
Passo 5
Chamando de ,\omega, o módulo da velocidade final e de ,\phi, o ângulo que ela faz com a normal, escrevemos ,\sin\phi = \frac{u,\sin\theta}{\omega}, e ,\tan\phi = \frac{u,\sin\theta}{u,\cos\theta + 2v},. Desse jeito chegamos nas duas relações pedidas:
Resposta
\frac{u}{\omega} = \frac{\sin\phi}{\sin\theta} \quad,\quad \frac{u,\cos\theta + 2v}{u,\sin\theta} = \cot\phi