Mostre que o operador diferencial da equação de onda, de uma onda eletromagnética, fica invariante frente às transformações de Lorentz (Obs: boost apenas na direção
), isto é,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador diferencial da equação de onda, também chamado de d’Alembertiano
, é invariante frente a um boost de Lorentz na direção
. Vamos usar conceitos de relatividade restrita: transformações de Lorentz (com fator de Lorentz
e velocidade relativa
), e a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
As transformações de Lorentz na direção
são
onde
. As coordenadas
ficam inalteradas.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para reescrever as derivadas em
pelas derivadas em
:
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas necessárias ao operador de onda na direção
:
Passo 5
Substituindo em
- De
: , - De
: =0, - De
: .
Passo 6
Como as derivadas em
não mudam, concluímos que
Resposta
O operador d’Alembertiano é invariante sob boost de Lorentz na direção x:
.