Mostre que o operador diferencial da equação de onda, de uma onda eletromagnética, fica invariante frente às transformações de Lorentz (Obs: boost apenas na direção x ), isto é,
nabla^2-1c^2 partial^2partial t^2=nabla^prime 2-1c^2 partial^2partial t^prime 2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador diferencial da equação de onda, também chamado de d’Alembertiano Box=nabla^2-tfrac1c^2partialt^2, é invariante frente a um boost de Lorentz na direção x. Vamos usar conceitos de relatividade restrita: transformações de Lorentz (com fator de Lorentz gamma e velocidade relativa v), e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

As transformações de Lorentz na direção x são
x'=gammal(x-vtr),
t'=gammal(t-vc^2xr),
onde gamma=1/raiz1-v^2/c^2. As coordenadas y,z ficam inalteradas.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para reescrever as derivadas em (x,t) pelas derivadas em (x',t'):
partialpartial x = partial x'partial xpartialpartial x' + partial t'partial xpartialpartial t' = gammapartialpartial x' - gammavc^2partialpartial t',
partialpartial t = partial x'partial tpartialpartial x' + partial t'partial tpartialpartial t' = -gamma vpartialpartial x' + gammapartialpartial t'

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas necessárias ao operador de onda na direção x:
partial^2partial x^2 = l(gammapartialx' - gammatfracvc^2partialt'r)^2 = gamma^2partialx'^2 -2gamma^2tfracvc^2partialx'partialt' + gamma^2tfracv^2c^4partialt'^2,
partial^2partial t^2 = l(-gamma vpartialx' + gammapartialt'r)^2 = gamma^2v^2partialx'^2 -2gamma^2vpartialx'partialt' + gamma^2partialt'^2

Passo 5

Substituindo em
partial^2partial x^2 - 1c^2partial^2partial t^2, temos coeficientes:
  • De partialx'^2: gamma^2 - tfrac1c^2gamma^2v^2 = gamma^2(1-beta^2)=1,
  • De partialx'partialt': -2gamma^2tfracvc^2 + 2gamma^2tfracvc^2=0,
  • De partialt'^2: gamma^2tfracv^2c^4 - tfrac1c^2gamma^2 = -tfrac1c^2gamma^2(1-beta^2) = -tfrac1c^2.

Passo 6

Como as derivadas em y,z não mudam, concluímos que
nabla^2 - 1c^2partial^2partial t^2 = nabla'^2 - 1c^2partial^2partial t'^2

Resposta

O operador d’Alembertiano é invariante sob boost de Lorentz na direção x: nabla^2 - tfrac1c^2partialt^2 = nabla'^2 - tfrac1c^2partialt'^2.

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