Equaçōes de Primeira Ordem,
( 1.25 cada) b) classifique (número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes) e resolva as equaçōes abaixo
ii) y^prime(t)=cos ^2 t+sen t ycos t

Passo 1

Neste exercício vamos classificar e resolver a EDO de primeira ordem dada por y'(t)=cos^2 t+sin t,ycos t. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Classificação da equação: número de variáveis independentes = 1 (a variável t), ordem = 1, linearidade = linear ( y e y' aparecem de forma linear), homogeneidade = não homogênea (existe termo isolado cos^2 t/cos t) e coeficientes = funções de t (variáveis).

Passo 3

Reescrevemos a EDO na forma padrão y'+p(t)y=q(t). Primeiro dividimos o membro direito por cos t: y'=cos^2 tcos t+sin tcos t,y=cos t+tan t,y Então temos y'-tan t,y=cos t, logo p(t)=-tan t e q(t)=cos t.

Passo 4

Calculamos o fator integrante mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(integral -tan t,dtr)=exp(ln|cos t|)=cos t Esse fator faz com que o lado esquerdo seja derivada de mu(t)y.

Passo 5

Multiplicamos a equação por mu(t)=cos t: cos t,y'-sin t,y=cos^2 t Reconhecemos o lado esquerdo como dfracddt(cos t,y). Integramos ambos os lados: integralddt(cos t,y),dt=integralcos^2 t,dt

Passo 6

Calculamos a integral de cos^2 t: integralcos^2 t,dt=integral1+cos2t2,dt=t2+sin2t4+C Como sin2t=2sin tcos t, então sin2t/4=(sin tcos t)/2.

Passo 7

Voltando à solução: cos t,y=t2+sin tcos t2+CLongrightarrow y=t2cos t+sin t2+Csec t

Resposta

A solução geral é y(t)=t2cos t+sin t2+Csec t, com constante arbitrária C.

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