Resolva as equaçōes diferencias abaixo:
(x+1)(y^prime-1)=2(y-x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (x+1)(y'-1)=2(y-x). O conteúdo é equação diferencial de 1ª ordem linear e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Primeiro, expandimos e isolamos y':
(x+1)dydx-(x+1)=2y-2x
Logo,
(x+1)dydx-2y=(x+1)-2x=1-x

Passo 3

Agora dividimos tudo por x+1 para atingir a forma padrão y'+P(x)y=Q(x):
dydx-2x+1y=1-x(x+1)^2
Aqui temos
P(x)=-2x+1, Q(x)=1-x(x+1)^2

Passo 4

Calculamos o fator integrante (\mu(x)=e^{\int P(x),dx}=e{-2\int\frac{1}{x+1}dx}=e{-2\ln|x+1|}=(x+1)^{-2}.

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=(x+1)^-2. O lado esquerdo vira derivada exata:
(x+1)^-2dydx-2(x+1)^-3y=ddxl(y(x+1)^2r)
e o direito fica
1-x(x+1)^4

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
y(x+1)^2=integral1-x(x+1)^4dx
Fazendo u=x+1, obtemos
integral2-uu^4du= -23u^3+12u^2+C
Voltando a x+1 e multiplicando por (x+1)^2, achamos

Passo 7

Resposta

y = C,(x+1)^2 - \frac{2}{3(x+1)} + \frac12

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