Equações de primeira ordem com coeficientes constantes. (a) Substituindo , encontramos a equação auxiliar para a equação linear de primeira ordem $$ a y^{\prime}+b y=0,

Passo 1

O enunciado trata de equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes, ou seja, equações da forma
a,y'(t)+b,y(t)=0,
com aneq0 e b constantes. A dica é tentar uma solução da forma y(t)=e^r t e descobrir para quais valores de r isso funciona.

Passo 2

Suponha y(t)=e^r t. Então
y'(t)=r,e^r t
Substituindo em
a,y'(t)+b,y(t)=0
vem
al(r,e^r tr)+bl(e^r tr)=0 Longrightarrow l(a,r+br),e^r t=0
Como e^r t nunca é zero, concluímos a equação característica
a,r+b=0

Passo 3

Da equação a,r+b=0 vem
r=- b a
Logo a solução geral da equação homogênea é
y(t)=C,e^- b a,t,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 4

No problema concreto temos
3,z'(t)+11,z(t)=0
Aqui a=3 e b=11, então
r=-113
Portanto a solução geral é
z(t)=C,e^-113,t

Resposta

z(t)=C,e^-113t

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