9 x^2+16 z^2=144 e 3 y+9 z=27
Monte as integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que permitem calcular o volume do sólido S, seguindo as ordens de integração indicadas abaixo e, após, responda aos seguintes itens:
c) Na ordem de integração dxdzdy, ou seja, em que x é a variável totalmente dependente, z é a variável parcialmente dependente e y é a variável independente, podemos utilizar uma única integral tripla para calcular o volume de S? Se sim, apresente os limitantes de integração. Caso contrário, justifique a impossibilidade do uso de uma única integral tripla e utilize duas ou mais integrais triplas para calcular o volume de S nesta ordem de integração.

Passo 1

O sólido S é o conjunto dos pontos (x,y,z) tais que
9x^2+16z^2<=144, 3y+9z<=27,
e que fica confinado no primeiro octante (x>=0,;y>=0,;z>=0).
Para calcular o volume basta montar
integral triplaS1;dx,dz,dy
na ordem dx,dz,dy.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de y.
Da desigualdade da reta 3y+9z<=27 e de z>=0 temos
y<=9-3z Longrightarrow y<=9
quando z=0.
Como y>=0, concluímos
0<= y<=9

Passo 3

Para um y fixo, o parâmetro z satisfaz
z>=0 e y<=9-3z ;Long<=ftrightarrow; z<=9-y3
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0<= z<=9-y3

Passo 4

Para cada par (y,z) dado, o x fica dentro do cilindro elíptico
9x^2+16z^2<=144 ;Longrightarrow; x^2<=144-16z^29 ;Longrightarrow; -raiz144-16z^29;<= x<=;raiz144-16z^29

Passo 5

Montamos, portanto, a única integral tripla necessária:
V = integraly=0^9 integralz=0^9-y3 integralx=-raiz144-16z^29^raiz144-16z^29 1 ;dx,dz,dy

Resposta

Sim, basta usar uma única integral tripla com
0<= y<=9, 0<= z<=9-y3, -raiz144-16z^29;<= x<=;raiz144-16z^29

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