Monte as integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que permitem calcular o volume do sólido
, seguindo as ordens de integração indicadas abaixo e, após, responda aos seguintes itens:
c) Na ordem de integração
, ou seja, em que
é a variável totalmente dependente,
é a variável parcialmente dependente e
é a variável independente, podemos utilizar uma única integral tripla para calcular o volume de
? Se sim, apresente os limitantes de integração. Caso contrário, justifique a impossibilidade do uso de uma única integral tripla e utilize duas ou mais integrais triplas para calcular o volume de
nesta ordem de integração.
c) Na ordem de integração
Passo 1
O sólido
é o conjunto dos pontos
tais que
e que fica confinado no primeiro octante
.
Para calcular o volume basta montar
Para calcular o volume basta montar
na ordem
.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
.
Da desigualdade da reta e de
temos
Da desigualdade da reta
quando
.
Como , concluímos
Como
Passo 3
Para um
fixo, o parâmetro
satisfaz
Logo
Passo 4
Para cada par
dado, o
fica dentro do cilindro elíptico
Passo 5
Montamos, portanto, a única integral tripla necessária:
Resposta
Sim, basta usar uma única integral tripla com