9 x^2+16 z^2=144 e 3 y+9 z=27
Monte as integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que permitem calcular o volume do sólido S, seguindo as ordens de integração indicadas abaixo e, após, responda aos seguintes itens:
e) Escolha uma das ordens de integração apresentadas nos itens anteriores que permite calcular o volume de S por meio de uma única integral tripla e calcule o volume de S.

Passo 1

O enunciado dá as superfícies
9x^2+16z^2=144
e
3y+9z=27
e pede o volume do sólido S limitado por elas. Aqui vamos assumir que S está no primeiro octante, ou seja, limitado também pelos planos x=0, y=0 e z=0. O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Descriminando S por desigualdades temos
9x^2+16z^2<=144, x>=0,;z>=0,
3y+9z<=27, y>=0
Da segunda desigualdade segue
y<=27-9z3=9-3z,
e da primeira, para cada zin[0,3],
x^2<=144-16z^29implies 0<= x<=13raiz144-16z^2=43raiz9-z^2

Passo 3

Escolhendo a ordem de integração dx,dy,dz, os limites são
0<= z<=3, 0<= y<=9-3z, 0<= x<=43raiz9-z^2
Assim o volume é
V=integralz=0^3!integraly=0^9-3z!integralx=0^tfrac43raiz9-z^2dx,dy,dz

Passo 4

Executando a integral em x:
integral0^43raiz9-z^2dx =43raiz9-z^2
Logo
V =integral0^3!integral0^9-3z43raiz9-z^2;dy,dz

Passo 5

Agora a integral em y dá um fator y|0^9-3z=9-3z:
V =43integral0^3(9-3z)raiz9-z^2;dz

Passo 6

Separe em duas partes:
V =43l[9integral0^3raiz9-z^2,dz -3integral0^3zraiz9-z^2,dzr]
Sabemos que
integral0^3raiz9-z^2,dz=picdot3^24=9pi4,
e por substituição u=9-z^2,
integral0^3zraiz9-z^2,dz =9
Logo
V =43l[9cdot9pi4-3cdot9r] =43l[81pi4-27r] =27pi-36

Resposta

V=27pi - 36

Exercícios relacionados