Monte as integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que permitem calcular o volume do sólido , seguindo as ordens de integração indicadas abaixo e, após, responda aos seguintes itens:
e) Escolha uma das ordens de integração apresentadas nos itens anteriores que permite calcular o volume de por meio de uma única integral tripla e calcule o volume de .
Passo 1
O enunciado dá as superfícies
e
e pede o volume do sólido limitado por elas. Aqui vamos assumir que está no primeiro octante, ou seja, limitado também pelos planos , e . O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Descriminando por desigualdades temos
Da segunda desigualdade segue
e da primeira, para cada ,
Passo 3
Escolhendo a ordem de integração , os limites são
Assim o volume é
Passo 4
Executando a integral em :
Logo
Passo 5
Agora a integral em dá um fator :
V =43integral0^3(9-3z)raiz9-z^2;dz
Passo 6
Separe em duas partes:
V =43l[9integral0^3raiz9-z^2,dz -3integral0^3zraiz9-z^2,dzr]
Sabemos que
integral0^3raiz9-z^2,dz=picdot3^24=9pi4,
e por substituição u=9-z^2,
integral0^3zraiz9-z^2,dz =9
Logo
V =43l[9cdot9pi4-3cdot9r] =43l[81pi4-27r] =27pi-36