(Equações de Ricatti) Uma EDO de primeira ordem é denominada uma equação de Ricatti se puder ser expressa na forma
dydt=p(t)+q(t) y+r(t) y^2
para funções p, q, r:(a, b) R contínuas. Por exemplo,
y^prime=sec ^2 t+(tan t) y+y^2
é uma equação de Ricatti. Uma equação de Ricatti pode ser transformada em uma equação de Bernoulli, caso seja conhecida uma sua solução particular y1=y1(t), por meio da mudança de variável
z=y-y1
Dito isso, resolva
dydt=2-2 t y+y^2, sabendo que y1=2 t é solução particular.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
dydt=2-2t,y+y^2
sabendo que y1(t)=2t é uma solução particular.
Conteúdo: para uma Riccati
dydt=p(t)+q(t),y+r(t),y^2
com solução particular y1, faz-se a troca de variável
z=y-y1,
o que transforma em uma equação de Bernoulli para z.

Passo 2

Defina
z=y-2t
Como tfracdydt=tfracdzdt+2, substituindo na Riccati original:
tfracdzdt+2 =2-2t,(2t+z)+(2t+z)^2
Desenvolvendo o lado direito:
2-4t^2-2t,z +4t^2+4t,z+z^2 =2+2t,z+z^2,
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dzdt = z^2+2t,z

Passo 3

Reconhecemos a equação de Bernoulli
dzdt=z^2+2t,z,
que pode ser escrita como
dzdt-2t,z = z^2

Passo 4

Para linearizar, use
w=1z
Então
dwdt =-1z^2dzdt =-1z^2l(z^2+2t,zr) =-1-2t,w,
isto é
dwdt+2t,w=-1

Passo 5

É uma EDO linear em w. O fator integrante é
mu(t)=expl(integral2t,dtr)=e^t^2
Multiplicando a equação por mu:
ddtl(w,e^t^2r) =-e^t^2
Integrando em t:
w,e^t^2=-integral0^te^s^2,ds +C,
onde C é constante arbitrária. Então
w(t)=l(C-!integral0^te^s^2,dsr),e^-t^2

Passo 6

Voltando a z:
z=1w =e^t^2C-integral0^te^s^2,ds
Por fim, y=y1+z
y(t)=2t+e^t^2 ,C-integral0^te^s^2,ds,

Resposta

boxedy(t)=2t+e^t^2 ,C-integral0^te^s^2,ds,,
onde C é constante de integração.

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