(Equações de Ricatti) Uma EDO de primeira ordem é denominada uma equação de Ricatti se puder ser expressa na forma
para funções
contínuas. Por exemplo,
é uma equação de Ricatti. Uma equação de Ricatti pode ser transformada em uma equação de Bernoulli, caso seja conhecida uma sua solução particular
, por meio da mudança de variável
Dito isso, resolva
, sabendo que
é solução particular.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
sabendo que
é uma solução particular.
Conteúdo: para uma Riccati
com solução particular
, faz-se a troca de variável
o que transforma em uma equação de Bernoulli para
.
Passo 2
Defina
Como
, substituindo na Riccati original:
Desenvolvendo o lado direito:
logo
Passo 3
Reconhecemos a equação de Bernoulli
que pode ser escrita como
Passo 4
Para linearizar, use
Então
isto é
Passo 5
É uma EDO linear em
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
Integrando em
:
onde
é constante arbitrária. Então
Passo 6
Voltando a
:
Por fim,
dá
Resposta
onde
é constante de integração.