(Equações de Ricatti) Uma EDO de primeira ordem é denominada uma equação de Ricatti se puder ser expressa na forma
dydt=p(t)+q(t) y+r(t) y^2
para funções p, q, r:(a, b) R contínuas. Por exemplo,
y^prime=sec ^2 t+(tan t) y+y^2
é uma equação de Ricatti. Uma equação de Ricatti pode ser transformada em uma equação de Bernoulli, caso seja conhecida uma sua solução particular y1=y1(t), por meio da mudança de variável
z=y-y1
Dito isso, resolva
y^prime=sec ^2 t+(tan t) y+y^2, 0, sabendo que y1=tan t é solução particular.

Passo 1

A equação dada é uma Riccati de primeira ordem, pois pode ser escrita como y'=p(t)+q(t)y+r(t)y^2. Aqui temos p(t)=sec^2t, q(t)=-tan t (ajustando o sinal para que y1=tan t seja de fato solução) e r(t)=1, e nos dão a solução particular y1(t)=tan t. Para resolver, vamos usar a mudança de variável z=y-y1 que transforma a Riccati numa equação de Bernoulli.

Passo 2

Substituindo y=z+tan t na equação original e lembrando que y1'=sec^2t, calculamos
z'=y'-y1'=l(sec^2t-tan t,y+y^2r)-sec^2t=-tan t,y+y^2

Passo 3

Como y=z+tan t,
$$z

Passo 4

=-\tan t,(z+\tan t)+(z+\tan t)2=z2+\tan t,z.$$

Passo 5

Portanto temos a equação de Bernoulli de expoente 2:
z'=tan t,z+z^2

Passo 6

Para resolver, fazemos a substituição u=1/z. Então
u'=-z'z^2=-tan t,z+z^2z^2=-tan t,u-1,

Passo 7

que é uma equação linear:
u'+tan t,u=-1

Passo 8

O fator integrante é
mu(t)=e^integraltan t,dt=e^-ln|cos t|=sec t

Passo 9

Multiplicando por mu e integrando,
l(sec t,ur)'=-sec timpliessec t,u=-ln|sec t+tan t|+C

Passo 10

Logo
u=cos tl(C-ln|sec t+tan t|r), z=1u=sec tC-ln|sec t+tan t|

Passo 11

Retornando a solução geral de y:
y(t)=y1+z=tan t+sec tC-ln|sec t+tan t|

Resposta

y(t)=tan t+dfracsec tC-lnl(sec t+tan tr), onde C é constante de integração.

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