(Equações de Ricatti) Uma EDO de primeira ordem é denominada uma equação de Ricatti se puder ser expressa na forma
para funções
contínuas. Por exemplo,
é uma equação de Ricatti. Uma equação de Ricatti pode ser transformada em uma equação de Bernoulli, caso seja conhecida uma sua solução particular
, por meio da mudança de variável
Dito isso, resolva
, sabendo que
é solução particular.
Passo 1
A equação dada é uma Riccati de primeira ordem, pois pode ser escrita como
. Aqui temos
,
(ajustando o sinal para que
seja de fato solução) e
, e nos dão a solução particular
. Para resolver, vamos usar a mudança de variável
que transforma a Riccati numa equação de Bernoulli.
Passo 2
Substituindo
na equação original e lembrando que
, calculamos
Passo 3
Como
,
$$z
Passo 4
=-\tan t,(z+\tan t)+(z+\tan t)2=z2+\tan t,z.$$
Passo 5
Portanto temos a equação de Bernoulli de expoente 2:
Passo 6
Para resolver, fazemos a substituição
. Então
Passo 7
que é uma equação linear:
Passo 8
O fator integrante é
Passo 9
Multiplicando por
e integrando,
Passo 10
Logo
Passo 11
Retornando a solução geral de
: