Utilizando o método de separação de variáveis, determine a solução de
dydt=(y-1)^2(t+1)^2.

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial de primeira ordem que depende de t e y: dfracdydt=dfrac(y-1)^2(t+1)^2. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, isolamos todas as quantidades em y do lado de dy e todas as quantidades em t do lado de dt. Ou seja, escrevemos
dy(y-1)^2=dt(t+1)^2
Agora integramos ambos os lados. Precisamos lembrar que integral u^-2du=-u^-1+constante. Portanto,
integraldy(y-1)^2=integraldt(t+1)^2 -1y-1=-1t+1+C

Passo 3

Multiplicando por -1) e chamando a constante reorganizada de C, obtemos
1y-1=1t+1+C

Passo 4

Por fim, isolamos y. Invertendo ambos os lados e somando 1:
y-1=11t+1+CLongrightarrow y(t)=1+11t+1+C

Resposta

A solução geral da equação é
y(t)=1+1dfrac1t+1+C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados