Utilizando o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante, determine a solução de cada um dos problemas seguintes:
t y^prime+y=cos t, y(pi)=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial de primeira ordem
t,y'(t) + y(t) = cos t
com condição inicial y(pi)=1.
Isso é um caso de equação linear, do tipo
y' + p(t),y = q(t),
e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação no formato padrão dividindo por t (assumindo tneq0):
y'(t) + 1t,y(t) = cos tt
Aqui p(t)=1/t e q(t)=cos t/t.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral 1t,dtr) = exp(ln t) = t,
válido para t>0, o que inclui t=pi.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t:
t,y' + y = cos t
O lado esquerdo é exatamente a derivada de t,y:
ddtl(t,yr) = cos t
Integrando ambos os lados em relação a t:
t,y = integral cos t,dt = sin t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolamos y e aplicamos y(pi)=1:
y(t) = sin t + Ct,
em t=pi deve valer
1 = sin pi + Cpi Longrightarrow 1 = 0 + Cpi Longrightarrow C = pi

Resposta

y(t) = sin t + pit

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