Utilizando o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante, determine a solução de cada um dos problemas seguintes:
y^prime=1+t+y+t y, y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordemçã
y' = 1 + t + y + t,y,
com condição inicial y(0)=0. Iremos usar o método do fator integrante, pois a equação é linear no formato
y' - (1+t),y = 1+t

Passo 2

Identificamos que o coeficiente de y é -(1+t). O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = expl(-integral (1+t),dtr) = expl(-t - tfract^22r)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t). O lado esquerdo torna-se a derivada de y,mu(t):
ddtl(y,mu(t)r) = (1+t),mu(t)

Passo 4

Agora integramos em t:
y,mu(t) = integral (1+t),mu(t),dt + C
Como mu'(t) = -(1+t),mu(t), temos (1+t),mu(t) = -mu'(t). Logo
integral (1+t),mu(t),dt = -integral mu'(t),dt = -mu(t),
de onde
y,mu(t) = -mu(t) + C

Passo 5

Isolando y,
y(t) = -1 + C,mu(t)^-1 = -1 + C,expl(t + tfract^22r)
Usando a condição y(0)=0 obtemos
0 = -1 + C,exp(0) Longrightarrow C=1
Portanto
y(t) = -1 + expl(t + tfract^22r)

Resposta

boxedy(t) = -1 + e^,t + tfract^22,

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