Utilizando o método de separação de variáveis, determine a solução de
1+t-1y dydt=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
1 + t - 1y,dydt = 0
e pede a solução geral pelo método de separação de variáveis. Vamos usar que, ao isolar dydt, podemos separar y e t em lados distintos e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação para isolar dydt:
1y,dydt = 1 + t
multiplicando ambos os lados por y obtemos
dydt = y,(1 + t)

Passo 3

Agora aplicamos separação de variáveis, escrevendo todos os termos com y de um lado e com t do outro:
dyy = (1 + t),dt

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dyy = integral (1 + t),dt
lnlvert yrvert = t + t^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Elevando exponencialmente ambos os lados e absorvendo o sinal e e^C numa nova constante A, obtemos
lvert yrvert = e^t + tfract^22 + C = e^C,e^,t + tfract^22,
portanto a solução geral é
y(t) = A,e^,t + tfract^22,
onde A é constante arbitrária (possa ser positiva ou negativa conforme as condições iniciais).

Resposta

y(t) = C,e^,t + tfract^22, CinRsetminus0

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