As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
a) z=3

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície em coordenadas retangulares e pede duas coisas:
  • Escrever a mesma equação em coordenadas cilíndricas.
  • Escrever a mesma equação em coordenadas esféricas.
A equação dada é z=3. Não há outros números ou restrições no enunciado além dessa superfície.

Passo 2

Lembrete prático sobre coordenadas cilíndricas (vai ajudar na prova):
  • Em coordenadas cilíndricas usa-se (r,\theta,z).
  • As fórmulas de conversão entre retangulares (x,y,z) e cilíndricas são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi).
Explicação rápida: r é a distância ao eixo z no plano xy, \theta é o ângulo no plano xy, e z permanece a coordenada vertical. Isso significa que qualquer equação que só envolva z em coordenadas cartesianas mantêm a mesma forma em cilíndricas, desde que se declare as variáveis cilíndricas.

Passo 3

Conversão para coordenadas cilíndricas:
  • A equação original é z=3. Em coordenadas cilíndricas a coordenada z é exatamente a mesma variável z.
  • Portanto a equação em cilíndricas é
z=3.
Interpretação: é um plano horizontal à altura 3 (independe de r e \theta). Em prova: escrever z=3 em cilíndricas e mencionar que r\ge0,\\ \theta\in[0,2\pi) se for necessário especificar domínio.

Passo 4

Lembrete prático sobre coordenadas esféricas (importante entender bem):
  • Em coordenadas esféricas usa-se (\rho,\varphi,\theta), onde \rho\ge0 é a distância da origem até o ponto, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo do raio com o eixo z (ângulo polar) e \theta\in[0,2\pi) é o mesmo ângulo azimutal do plano xy.
  • As fórmulas de conversão são
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi.
Explicação: \rho\sin\varphi é a projeção radial no plano xy, e \rho\cos\varphi é a altura z. Essas fórmulas são fundamentais para transformar qualquer equação envolvendo x,y,z.

Passo 5

Conversão para coordenadas esféricas:
  • Substituir z por \rho\cos\varphi na equação z=3. Isso dá
\rho\cos\varphi = 3.
  • Pode-se resolver para \rho (quando \cos\varphi\neq 0):
\rho = \frac{3}{\cos\varphi} = 3\operatorname{sec}\varphi.
Domínio e observações importantes para a prova:
  • Como \rho\ge0, a igualdade \rho\cos\varphi=3 só tem soluções quando \cos\varphi>0, isto é \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}). Para \varphi=\tfrac{\pi}{2} a expressão exigiria \rho=\infty (sem sentido), e para \varphi>\tfrac{\pi}{2} teríamos \cos\varphi<0 levando a \rho<0 (não permitido).
  • Portanto a forma mais direta e compacta em esféricas é \rho\cos\varphi=3, com a compreensão de que as soluções físicas têm \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}) e \rho=3\operatorname{sec}\varphi nesse intervalo.
    Geometria intuitiva: a superfície é o plano horizontal z=3. Em esféricas isso significa que, ao seguir uma direção dada por \varphi e \theta, o ponto do plano está a distância \rho=3\operatorname{sec}\varphi da origem (desde que a direção aponte para cima, \varphi<\tfrac{\pi}{2}).

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (amigo te dando uma força):
  • Quando a equação envolva apenas z é quase sempre imediata em cilíndricas: mantêm-se z= valor.
  • Em esféricas, sempre lembrar z=\rho\cos\varphi. Frequentemente é suficiente escrever \rho\cos\varphi= valor; se pedirem explicitamente \rho=\cdots, resolver para \rho e anotar o intervalo de \varphi.
  • Não esquece de mencionar domínios se a questão pedir conjunto de pontos válidos.

Resposta

z=3 (em coordenadas cilíndricas)\newline
\rho\cos\varphi=3 ou equivalently \rho=3\operatorname{sec}\varphi com \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}) (em coordenadas esféricas)

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