As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
a)
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Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície em coordenadas retangulares e pede duas coisas:
- Escrever a mesma equação em coordenadas cilíndricas.
- Escrever a mesma equação em coordenadas esféricas.
A equação dada é
. Não há outros números ou restrições no enunciado além dessa superfície.
Passo 2
Lembrete prático sobre coordenadas cilíndricas (vai ajudar na prova):
- Em coordenadas cilíndricas usa-se
. - As fórmulas de conversão entre retangulares
e cilíndricas são
onde
e
.
Explicação rápida: é a distância ao eixo
no plano
,
é o ângulo no plano
, e
permanece a coordenada vertical. Isso significa que qualquer equação que só envolva
em coordenadas cartesianas mantêm a mesma forma em cilíndricas, desde que se declare as variáveis cilíndricas.
Explicação rápida:
Passo 3
Conversão para coordenadas cilíndricas:
- A equação original é
. Em coordenadas cilíndricas a coordenada é exatamente a mesma variável . - Portanto a equação em cilíndricas é
Interpretação: é um plano horizontal à altura
(independe de
e
). Em prova: escrever
em cilíndricas e mencionar que
se for necessário especificar domínio.
Passo 4
Lembrete prático sobre coordenadas esféricas (importante entender bem):
- Em coordenadas esféricas usa-se
, onde é a distância da origem até o ponto, é o ângulo do raio com o eixo (ângulo polar) e é o mesmo ângulo azimutal do plano . - As fórmulas de conversão são
Explicação:
é a projeção radial no plano
, e
é a altura
. Essas fórmulas são fundamentais para transformar qualquer equação envolvendo
.
Passo 5
Conversão para coordenadas esféricas:
- Substituir
por na equação . Isso dá
- Pode-se resolver para
(quando ):
Domínio e observações importantes para a prova:
- Como
, a igualdade só tem soluções quando , isto é . Para a expressão exigiria (sem sentido), e para teríamos levando a (não permitido). - Portanto a forma mais direta e compacta em esféricas é
, com a compreensão de que as soluções físicas têm e nesse intervalo.
Geometria intuitiva: a superfície é o plano horizontal. Em esféricas isso significa que, ao seguir uma direção dada por e , o ponto do plano está a distância da origem (desde que a direção aponte para cima, ).
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (amigo te dando uma força):
- Quando a equação envolva apenas
é quase sempre imediata em cilíndricas: mantêm-se valor. - Em esféricas, sempre lembrar
. Frequentemente é suficiente escrever valor; se pedirem explicitamente , resolver para e anotar o intervalo de . - Não esquece de mencionar domínios se a questão pedir conjunto de pontos válidos.