As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
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Passo 1
O enunciado dá a superfície, em coordenadas retangulares, e pede que a escrevamos em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas. A equação dada é:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície é definida por
, e com a relação acima. - A raiz quadrada fornece valores não negativos, portanto o lado esquerdo
satisfaz . - Precisamos reescrever essa mesma relação usando:
- coordenadas cilíndricas:
com , real e real; - coordenadas esféricas:
com , (ângulo a partir do eixo ) e azimute.
- coordenadas cilíndricas:
Passo 2
Lembrete (definições) — coordenadas cilíndricas:
-
. -
. -
. -
é a distância radial ao eixo .
Agora substituo
e
na equação dada por meio de
. Primeiro fator comum:
Usando
obtemos a forma em cilíndricas:
Observações didáticas:
- A variável
já é não negativa, então a expressão faz sentido com . - Geometricamente, em coordenadas cilíndricas a equação é linear em
: cada geratriz do cone satisfaz essa relação.
Passo 3
Lembrete (definições) — coordenadas esféricas:
-
. -
. -
. - Além disso, a componente radial projetada no plano
é .
Substituo as expressões esféricas na equação. Partindo da forma cilíndrica já obtida
, uso
e
:
Para
posso dividir ambos os lados por
(o caso
corresponde à origem, que também satisfaz a equação porque
):
Isolo a tangente:
Logo
Observações didáticas:
- Em esféricas a superfície não depende de
nem de : é uma superfície de ângulo fixo , ou seja, um cone com vértice na origem cujo eixo é o eixo positivo. - O caso
(a origem) está incluído pois satisfaz a equação original.
Passo 4
Interpretação geométrica e domínio:
- A superfície é um cone reto com vértice na origem que se abre para cima (porque
), com semi-ângulo entre o eixo e a geratriz igual a (ou seja, 30°). - Em cilíndricas a equação
descreve o mesmo cone; em esféricas a equação reduz-se à condição angular .