As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
d) \mathrm{z}=\sqrt{3 x^{2}+3 y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a superfície, em coordenadas retangulares, e pede que a escrevamos em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas. A equação dada é:
z=\sqrt{3x^{2}+3y^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície é definida por x, y e z com a relação acima.
  • A raiz quadrada fornece valores não negativos, portanto o lado esquerdo z satisfaz z\ge 0.
  • Precisamos reescrever essa mesma relação usando:
    • coordenadas cilíndricas: (r,\theta,z) com r\ge 0, \theta real e z real;
    • coordenadas esféricas: (\rho,\varphi,\theta) com \rho\ge 0, \varphi\in[0,\pi] (ângulo a partir do eixo z) e \theta azimute.

Passo 2

Lembrete (definições) — coordenadas cilíndricas:
  • x = r\cos\theta.
  • y = r\sin\theta.
  • z = z.
  • r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância radial ao eixo z.
Agora substituo x e y na equação dada por meio de r. Primeiro fator comum:
\sqrt{3x^{2}+3y^{2}}=\sqrt{3(x^{2}+y^{2})}=\sqrt{3}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Usando \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r obtemos a forma em cilíndricas:
z=\sqrt{3}\,r.
Observações didáticas:
  • A variável r já é não negativa, então a expressão faz sentido com z\ge 0.
  • Geometricamente, em coordenadas cilíndricas a equação é linear em r: cada geratriz do cone satisfaz essa relação.

Passo 3

Lembrete (definições) — coordenadas esféricas:
  • x=\rho\sin\varphi\cos\theta.
  • y=\rho\sin\varphi\sin\theta.
  • z=\rho\cos\varphi.
  • Além disso, a componente radial projetada no plano xy é r=\rho\sin\varphi.
Substituo as expressões esféricas na equação. Partindo da forma cilíndrica já obtida z=\sqrt{3}\,r, uso z=\rho\cos\varphi e r=\rho\sin\varphi:
\rho\cos\varphi=\sqrt{3}\,\rho\sin\varphi.
Para \rho>0 posso dividir ambos os lados por \rho (o caso \rho=0 corresponde à origem, que também satisfaz a equação porque 0= \sqrt{3}\cdot 0):
\cos\varphi=\sqrt{3}\,\sin\varphi.
Isolo a tangente:
\tan\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Logo
\varphi=\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}.
Observações didáticas:
  • Em esféricas a superfície não depende de \rho nem de \theta: é uma superfície de ângulo fixo \varphi=\pi/6, ou seja, um cone com vértice na origem cujo eixo é o eixo z positivo.
  • O caso \rho=0 (a origem) está incluído pois satisfaz a equação original.

Passo 4

Interpretação geométrica e domínio:
  • A superfície é um cone reto com vértice na origem que se abre para cima (porque z\ge 0), com semi-ângulo entre o eixo z e a geratriz igual a \varphi=\pi/6 (ou seja, 30°).
  • Em cilíndricas a equação z=\sqrt{3}\,r descreve o mesmo cone; em esféricas a equação reduz-se à condição angular \varphi=\pi/6.

Resposta

z=\sqrt{3}\,r
\varphi=\dfrac{\pi}{6}

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