Passar do sistema esférico para o sistema cartesiano:
e) \rho^{2}-3 \rho \cos (\theta)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação em coordenadas esféricas
\rho^{2}-3\,\rho\cos(\theta)=0.
O que se pede: escrever essa mesma superfície no sistema de coordenadas cartesianas, isto é, obter uma equação envolvendo x, y e z equivalente à dada acima.

Passo 2

Vamos lembrar as relações entre coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi) e cartesianas (x,y,z). Estas são fórmulas padrão — vou explicar o que cada símbolo significa:
  • \rho é a distância do ponto à origem, logo \rho\ge 0.
  • \theta é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ângulo polar).
  • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy (não vai aparecer nesta equação).
As relações são
x=\rho\sin(\theta)\cos(\varphi),\qquad y=\rho\sin(\theta)\sin(\varphi),\qquad z=\rho\cos(\theta),
e, em particular, a relação útil que liga \rho e z é
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \cos(\theta)=\frac{z}{\rho}.

Passo 3

Voltemos à equação dada. Podemos fatorá-la para simplificar:
\rho^{2}-3\rho\cos(\theta)=\rho\bigl(\rho-3\cos(\theta)\bigr)=0.
Isso nos dá duas possibilidades que satisfazem a equação esférica:
  1. \rho=0,
  2. \rho-3\cos(\theta)=0, isto é, \rho=3\cos(\theta).

Passo 4

Interpretação das duas possibilidades:
  • Se \rho=0 temos o ponto origem (0,0,0). Esse é um caso trivial (a origem).
  • O caso não trivial é \rho=3\cos(\theta). Vamos converter esta última para coordenadas cartesianas usando as relações do Passo 2.

Passo 5

Substituindo \cos(\theta)=\dfrac{z}{\rho} na equação \rho=3\cos(\theta) obtemos (para \rho>0)
\rho=3\cdot\frac{z}{\rho}.
Multiplicando ambos os lados por \rho resulta
\rho^{2}=3z.
Agora substituímos \rho^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} (definição de \rho) para obter a equação em x,y,z:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3z.

Passo 6

Façamos a álgebra para escrever essa equação numa forma mais reconhecível (completando o quadrado em z):
x^{2}+y^{2}+z^{2}-3z=0
x^{2}+y^{2}+\bigl(z^{2}-3z\bigr)=0
x^{2}+y^{2}+\bigl(z^{2}-3z+\tfrac{9}{4}\bigr)=\tfrac{9}{4}
x^{2}+y^{2}+\bigl(z-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{9}{4}.
Esta é a equação de uma esfera de centro \bigl(0,0,\tfrac{3}{2}\bigr) e raio \tfrac{3}{2}.

Passo 7

Observação sobre domínio: a relação original \rho=3\cos(\theta) junto com \rho\ge 0 implica \cos(\theta)\ge 0, isto é z\ge 0. A esfera encontrada tem centro em z=\tfrac{3}{2} e raio \tfrac{3}{2}, portanto sua parte mais baixa fica em z=0; assim a equação cartesiana acima descreve exatamente essa esfera inteira (que já está contida em z\ge 0). O ponto \rho=0 (a origem) também satisfaz a equação cartesiana (é o ponto onde x=y=0 e z=0).

Resposta

x^{2}+y^{2}+z^{2}-3z=0
x^{2}+y^{2}+\bigl(z-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{9}{4}

Exercícios relacionados