Passar do sistema esférico para o sistema cartesiano:
e)
e)
Passo 1
O enunciado dá a equação em coordenadas esféricas
O que se pede: escrever essa mesma superfície no sistema de coordenadas cartesianas, isto é, obter uma equação envolvendo
,
e
equivalente à dada acima.
Passo 2
Vamos lembrar as relações entre coordenadas esféricas
e cartesianas
. Estas são fórmulas padrão — vou explicar o que cada símbolo significa:
-
é a distância do ponto à origem, logo . -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (ângulo polar). -
é o ângulo azimutal no plano (não vai aparecer nesta equação).
As relações são
e, em particular, a relação útil que liga
e
é
Passo 3
Voltemos à equação dada. Podemos fatorá-la para simplificar:
Isso nos dá duas possibilidades que satisfazem a equação esférica:
-
, -
, isto é, .
Passo 4
Interpretação das duas possibilidades:
- Se
temos o ponto origem . Esse é um caso trivial (a origem). - O caso não trivial é
. Vamos converter esta última para coordenadas cartesianas usando as relações do Passo 2.
Passo 5
Substituindo
na equação
obtemos (para
)
Multiplicando ambos os lados por
resulta
Agora substituímos
(definição de
) para obter a equação em
:
Passo 6
Façamos a álgebra para escrever essa equação numa forma mais reconhecível (completando o quadrado em
):
Esta é a equação de uma esfera de centro
e raio
.
Passo 7
Observação sobre domínio: a relação original
junto com
implica
, isto é
. A esfera encontrada tem centro em
e raio
, portanto sua parte mais baixa fica em
; assim a equação cartesiana acima descreve exatamente essa esfera inteira (que já está contida em
). O ponto
(a origem) também satisfaz a equação cartesiana (é o ponto onde
e
).