Passar do sistema esférico para o sistema cartesiano:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: converter para coordenadas cartesianas o ponto dado em coordenadas esféricas
.
As informações fornecidas são:
- o raio (distância ao origem) é
; - o segundo ângulo é
; - o terceiro ângulo é
.
O que se quer: encontrar as coordenadas cartesianas
correspondentes a esse ponto esférico.
Passo 2
Primeiro é preciso usar a fórmula certa de conversão esférico
cartesiano. Vou adotar a convenção padrão (muito usada em cálculo e geometria): as coordenadas esféricas vêm como
onde
-
é a distância do ponto à origem (sempre ); -
é o ângulo polar (ou colatitude), medido a partir do eixo positivo, com ; -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo, com (pode ser negativo).
As fórmulas de conversão, que vamos usar e que convém decorar, são:
Explicando cada termo:
-
dá a “projeção” do raio no plano ; -
e distribuem essa projeção entre e ; -
dá a componente ao longo do eixo .
Observação rápida sobre escolha da convenção: a escolha acima é a que torna
um ângulo válido e
um azimute plausível (ângulo negativo no plano
). Com outras convenções (por exemplo trocando o papel de
e
) os mesmos números dariam resultados diferentes; aqui essa escolha é a mais comum e produz resultados simples e consistentes.
Passo 3
Agora calculemos os valores trigonométricos que aparecem nas fórmulas, usando ângulos conhecidos:
Passo 4
Calcule
substituindo
,
e
:
Passo 5
Calcule
substituindo
:
Passo 6
Calcule
usando
:
Passo 7
Montando as coordenadas cartesianas obtemos
Uma checagem rápida: a distância ao centro deve ser
. Verificando:
que é exatamente
, portanto os cálculos estão consistentes.
Passo 8
Dica para prova (rapidinha e prática): memorize as fórmulas
e saiba os valores trigonométricos básicos
e
para
. Assim a conversão vira conta de multiplicar frações e raízes — direta e rápida.