Passar do sistema esférico para o sistema cartesiano:
a) A\left(12, \frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede: converter para coordenadas cartesianas o ponto dado em coordenadas esféricas A\bigl(12,\tfrac{\pi}{3},-\tfrac{\pi}{6}\bigr).
As informações fornecidas são:
  • o raio (distância ao origem) é \rho=12;
  • o segundo ângulo é \tfrac{\pi}{3};
  • o terceiro ângulo é -\tfrac{\pi}{6}.
O que se quer: encontrar as coordenadas cartesianas (x,y,z) correspondentes a esse ponto esférico.

Passo 2

Primeiro é preciso usar a fórmula certa de conversão esférico \to cartesiano. Vou adotar a convenção padrão (muito usada em cálculo e geometria): as coordenadas esféricas vêm como \bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr) onde
  • \rho é a distância do ponto à origem (sempre \rho\ge 0);
  • \theta é o ângulo polar (ou colatitude), medido a partir do eixo z positivo, com 0\le\theta\le\pi;
  • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo, com -\pi<\varphi\le\pi (pode ser negativo).
As fórmulas de conversão, que vamos usar e que convém decorar, são:
x=\rho\sin\theta\cos\varphi, \qquad y=\rho\sin\theta\sin\varphi, \qquad z=\rho\cos\theta.
Explicando cada termo:
  • \sin\theta dá a “projeção” do raio no plano xy;
  • \cos\varphi e \sin\varphi distribuem essa projeção entre x e y;
  • \cos\theta dá a componente ao longo do eixo z.
Observação rápida sobre escolha da convenção: a escolha acima é a que torna \theta=\tfrac{\pi}{3} um ângulo válido e \varphi=-\tfrac{\pi}{6} um azimute plausível (ângulo negativo no plano xy). Com outras convenções (por exemplo trocando o papel de \theta e \varphi) os mesmos números dariam resultados diferentes; aqui essa escolha é a mais comum e produz resultados simples e consistentes.

Passo 3

Agora calculemos os valores trigonométricos que aparecem nas fórmulas, usando ângulos conhecidos:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},
\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcule x substituindo \rho=12, \sin\theta=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos\varphi=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
x=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =12\cdot\frac{3}{4} =12\cdot\frac{3}{4}=9.

Passo 5

Calcule y substituindo \sin\varphi=-\tfrac{1}{2}:
y=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) =12\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) =-3\sqrt{3}.

Passo 6

Calcule z usando \cos\theta=\tfrac{1}{2}:
z=12\cdot\frac{1}{2}=6.

Passo 7

Montando as coordenadas cartesianas obtemos
A\bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(9,\,-3\sqrt{3},\,6\bigr).
Uma checagem rápida: a distância ao centro deve ser \rho. Verificando:
\sqrt{9^{2}+(-3\sqrt{3})^{2}+6^{2}} =\sqrt{81+27+36} =\sqrt{144}=12,
que é exatamente \rho, portanto os cálculos estão consistentes.

Passo 8

Dica para prova (rapidinha e prática): memorize as fórmulas
x=\rho\sin\theta\cos\varphi,\quad y=\rho\sin\theta\sin\varphi,\quad z=\rho\cos\theta,
e saiba os valores trigonométricos básicos \sin e \cos para \tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{4}. Assim a conversão vira conta de multiplicar frações e raízes — direta e rápida.

Resposta

A(9,-3\sqrt{3},6)

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