As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
b)
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Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
em coordenadas retangulares (cartesianas) e pede duas coisas:
- Escrever essa mesma equação em coordenadas cilíndricas.
- Escrever essa mesma equação em coordenadas esféricas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação da superfície é exatamente
. - Não há números adicionais nem figura.
Passo 2
Entendendo e definindo coordenadas cilíndricas (pequena revisão didática).
- Coordenadas cilíndricas usam um triplo
. - As relações para passar de cilíndricas para retangulares são:
Aqui:
-
é a distância da projeção do ponto no plano até a origem, -
é o ângulo azimutal no plano (medido a partir do eixo ), -
é a mesma coordenada de cartesianas.
Passo 3
Converter
para cilíndricas por substituição direta.
- Substitui-se
pela expressão cilíndrica . Assim:
Essa é a forma mais direta e correta em coordenadas cilíndricas.
Observações sobre essa forma (práticas para prova):
- Pode também isolar
:
desde que
. Lembre que
deve ser não negativo, então valores de
que tornam
exigiriam
, o que não é permitido nessa forma isolada; por isso a expressão implícita
é mais segura e geral.
- Geometricamente, essa equação representa um plano paralelo ao plano
, deslocado no sentido positivo do eixo a uma distância da origem. Em cilíndricas, a dependência aparece entre e , enquanto fica livre (qualquer é permitido).
Exemplo numérico rápido para fixar:
- O ponto
está na superfície. Em cilíndricas isso é porque , e .
Passo 4
Entendendo e definindo coordenadas esféricas (pequena revisão didática).
- Vou usar a convenção usual de matemática: coordenadas esféricas
, com
Aqui:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo azimutal no plano (mesmo significado da cilíndrica), -
é o ângulo polar medido a partir do eixo (ângulo entre o vetor posição e o eixo ).
Passo 5
Converter
para esféricas por substituição direta.
- Substitui-se
pela expressão esférica . Assim a equação fica:
- Isolando
(quando possível):
desde que
. Novamente, como
, deve-se ter
para que a forma isolada dê
positivo; por isso a forma implícita
é mais geral e segura.
Observações geométricas e práticas:
- A equação em esféricas não é uma equação com um ângulo constante simples: envolve
, e juntos. Isso é comum quando uma superfície plana não passa pela origem: em esféricas ela costuma relacionar com ângulos. - Exemplo de verificação: o ponto
corresponde a , , . Substituindo em dá , ok.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (motivação):
- Para converter superfícies, sempre escreva primeiro as fórmulas de transformação (
em termos de ou ) e substitua. Isso evita confusão. - Em muitos casos é preferível deixar a equação na forma implícita (
ou ) em vez de isolar ou , porque a forma implícita não obriga a cuidar dos sinais e dos pontos onde seno é zero. - Força aí — manter a calma e seguir o passo de substituir as definições costuma resolver fácil!
Resposta
Cilíndricas:
Esféricas: