As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
b) y=2

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação y=2 em coordenadas retangulares (cartesianas) e pede duas coisas:
  • Escrever essa mesma equação em coordenadas cilíndricas.
  • Escrever essa mesma equação em coordenadas esféricas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação da superfície é exatamente y=2.
  • Não há números adicionais nem figura.

Passo 2

Entendendo e definindo coordenadas cilíndricas (pequena revisão didática).
  • Coordenadas cilíndricas usam um triplo (r,\theta,z).
  • As relações para passar de cilíndricas para retangulares são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui:
  • r\ge 0 é a distância da projeção do ponto no plano xy até a origem,
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x),
  • z é a mesma coordenada z de cartesianas.

Passo 3

Converter y=2 para cilíndricas por substituição direta.
  • Substitui-se y pela expressão cilíndrica r\sin\theta. Assim:
r\sin\theta = 2.
Essa é a forma mais direta e correta em coordenadas cilíndricas.
Observações sobre essa forma (práticas para prova):
  • Pode também isolar r:
r = 2\csc\theta,
desde que \sin\theta\neq 0. Lembre que r deve ser não negativo, então valores de \theta que tornam \sin\theta<0 exigiriam r<0, o que não é permitido nessa forma isolada; por isso a expressão implícita r\sin\theta=2 é mais segura e geral.
  • Geometricamente, essa equação representa um plano paralelo ao plano xz, deslocado no sentido positivo do eixo y a uma distância 2 da origem. Em cilíndricas, a dependência aparece entre r e \theta, enquanto z fica livre (qualquer z é permitido).
Exemplo numérico rápido para fixar:
  • O ponto (x,y,z)=(0,2,5) está na superfície. Em cilíndricas isso é (r,\theta,z)=(2,\tfrac{\pi}{2},5) porque r\cos\theta=0, r\sin\theta=2 e z=5.

Passo 4

Entendendo e definindo coordenadas esféricas (pequena revisão didática).
  • Vou usar a convenção usual de matemática: coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi), com
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Aqui:
  • \rho\ge 0 é a distância do ponto à origem,
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (mesmo significado da cilíndrica),
  • \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ângulo entre o vetor posição e o eixo z).

Passo 5

Converter y=2 para esféricas por substituição direta.
  • Substitui-se y pela expressão esférica \rho\sin\varphi\sin\theta. Assim a equação fica:
\rho\sin\varphi\sin\theta = 2.
  • Isolando \rho (quando possível):
\rho = \frac{2}{\sin\varphi\,\sin\theta},
desde que \sin\varphi\sin\theta\neq 0. Novamente, como \rho\ge 0, deve-se ter \sin\varphi\sin\theta>0 para que a forma isolada dê \rho positivo; por isso a forma implícita \rho\sin\varphi\sin\theta=2 é mais geral e segura.
Observações geométricas e práticas:
  • A equação em esféricas não é uma equação com um ângulo constante simples: envolve \rho, \varphi e \theta juntos. Isso é comum quando uma superfície plana não passa pela origem: em esféricas ela costuma relacionar \rho com ângulos.
  • Exemplo de verificação: o ponto (0,2,0) corresponde a \rho=2, \varphi=\tfrac{\pi}{2}, \theta=\tfrac{\pi}{2}. Substituindo em \rho\sin\varphi\sin\theta 2\cdot1\cdot1=2, ok.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (motivação):
  • Para converter superfícies, sempre escreva primeiro as fórmulas de transformação ( x,y,z em termos de r,\theta,z ou \rho,\theta,\varphi) e substitua. Isso evita confusão.
  • Em muitos casos é preferível deixar a equação na forma implícita ( r\sin\theta=2 ou \rho\sin\varphi\sin\theta=2) em vez de isolar r ou \rho, porque a forma implícita não obriga a cuidar dos sinais e dos pontos onde seno é zero.
  • Força aí — manter a calma e seguir o passo de substituir as definições costuma resolver fácil!

Resposta

Cilíndricas: r\sin\theta=2
Esféricas: \rho\sin\varphi\sin\theta=2

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