As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
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Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação em coordenadas retangulares:
Pede-se escrever essa mesma equação em:
- coordenadas cilíndricas;
- coordenadas esféricas.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação original é
. - Não há outras restrições explícitas (logo as relações usuais entre coordenadas valem).
Passo 2
Antes de começar a substituir, vamos revisar as fórmulas de mudança de coordenadas (e o que cada variável significa), para que fique claro passo a passo.
Coordenadas cilíndricas
:
-
é a distância radial ao eixo no plano (ou seja, ). -
é o ângulo polar no plano (normalmente ). -
é o mesmo que em retangulares.
Relações:
Coordenadas esféricas
:
-
é a distância ao ponto origem (ou seja, ). -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (ou seja, ). -
é o mesmo ângulo azimutal do plano .
Relações:
e
Vou usar essas relações para substituir na equação dada.
Passo 3
Primeiro, é útil entender geometricamente a equação em coordenadas retangulares: completar o quadrado em
.
Portanto a equação
é equivalente a
Isso descreve um cilindro circular cujo eixo é paralelo ao eixo
, com seção transversal (no plano
constante) um círculo de centro
e raio
. Essa informação geométrica serve para checar consistência das fórmulas que vamos obter nas próximas substituições.
Passo 4
Agora a conversão para coordenadas cilíndricas: substituir
e
na equação original.
Fatorando:
Isso significa algebraicamente que ou
(o ponto origem, caso trivial) ou
Como em coordenadas cilíndricas usamos
, a representação prática da superfície não-trivial é dada por
lembrando que essa igualdade só produz
para os ângulos
com
(isto corresponde à metade do plano azimutal onde a curva polar representa o círculo deslocado). Em forma fatorada também é legítimo escrever
.
Passo 5
Conversão para coordenadas esféricas: usar
e
. Substituindo na equação:
Colocando em evidência
:
As soluções possíveis são:
-
(origem), ou -
(pontos no eixo , que também correspondem a ), ou -
, isto é
Isolando
(quando
):
Uma forma alternativa de escrever é
Novamente, deve-se lembrar que
, então a equação só define pontos com o sinal compatível das funções trigonométricas; os casos
ou
ficam incluídos pela forma fatorada.
Passo 6
Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
- Em coordenadas polares/cilíndricas,
e . Substitua e factorize. Completar quadrado em retangulares ajuda a reconhecer o objeto geométrico (um cilindro). - Em esféricas, usar
e . Fatorar simplifica a equação e mostra casos especiais ( ou ).
Resposta
Cilíndricas:
, ou, não trivialmente,
.\n
Esféricas: , ou, para
,
.
Esféricas: