As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
f) x^{2}+y^{2}-6 y=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação em coordenadas retangulares:
x^{2}+y^{2}-6y=0.
Pede-se escrever essa mesma equação em:
  • coordenadas cilíndricas;
  • coordenadas esféricas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação original é \,x^{2}+y^{2}-6y=0.
  • Não há outras restrições explícitas (logo as relações usuais entre coordenadas valem).

Passo 2

Antes de começar a substituir, vamos revisar as fórmulas de mudança de coordenadas (e o que cada variável significa), para que fique claro passo a passo.
Coordenadas cilíndricas (r,\theta,z):
  • r é a distância radial ao eixo z no plano xy (ou seja, r\ge0).
  • \theta é o ângulo polar no plano xy (normalmente 0\le\theta<2\pi).
  • z é o mesmo que em retangulares.
    Relações:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta):
  • \rho é a distância ao ponto origem (ou seja, \rho\ge0).
  • \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ou seja, 0\le\varphi\le\pi).
  • \theta é o mesmo ângulo azimutal do plano xy.
    Relações:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi,
e
x^{2}+y^{2} = \rho^{2}\sin^{2}\varphi.
Vou usar essas relações para substituir na equação dada.

Passo 3

Primeiro, é útil entender geometricamente a equação em coordenadas retangulares: completar o quadrado em y.
x^{2}+y^{2}-6y = x^{2} + (y^{2}-6y) = x^{2} + (y-3)^{2} - 9.
Portanto a equação x^{2}+y^{2}-6y=0 é equivalente a
x^{2}+(y-3)^{2}=9.
Isso descreve um cilindro circular cujo eixo é paralelo ao eixo z, com seção transversal (no plano z= constante) um círculo de centro (0,3) e raio 3. Essa informação geométrica serve para checar consistência das fórmulas que vamos obter nas próximas substituições.

Passo 4

Agora a conversão para coordenadas cilíndricas: substituir x^{2}+y^{2}=r^{2} e y=r\sin\theta na equação original.
x^{2}+y^{2}-6y = r^{2}-6(r\sin\theta)=0.
Fatorando:
r^{2}-6r\sin\theta = r\bigl(r-6\sin\theta\bigr)=0.
Isso significa algebraicamente que ou r=0 (o ponto origem, caso trivial) ou
r = 6\sin\theta.
Como em coordenadas cilíndricas usamos r\ge0, a representação prática da superfície não-trivial é dada por
r = 6\sin\theta,
lembrando que essa igualdade só produz r\ge0 para os ângulos \theta com \sin\theta\ge0 (isto corresponde à metade do plano azimutal onde a curva polar representa o círculo deslocado). Em forma fatorada também é legítimo escrever r\bigl(r-6\sin\theta\bigr)=0.

Passo 5

Conversão para coordenadas esféricas: usar x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi e y=\rho\sin\varphi\sin\theta. Substituindo na equação:
x^{2}+y^{2}-6y = \rho^{2}\sin^{2}\varphi - 6(\rho\sin\varphi\sin\theta)=0.
Colocando em evidência \rho\sin\varphi:
\rho^{2}\sin^{2}\varphi - 6\rho\sin\varphi\sin\theta = \rho\sin\varphi\bigl(\rho\sin\varphi - 6\sin\theta\bigr)=0.
As soluções possíveis são:
  • \rho=0 (origem), ou
  • \sin\varphi=0 (pontos no eixo z, que também correspondem a r=0), ou
  • \rho\sin\varphi - 6\sin\theta = 0, isto é
\rho\sin\varphi = 6\sin\theta.
Isolando \rho (quando \sin\varphi\ne0):
\rho = \dfrac{6\sin\theta}{\sin\varphi}.
Uma forma alternativa de escrever é
\rho = 6\,\frac{\sin\theta}{\sin\varphi} = 6\sin\theta\,\csc\varphi.
Novamente, deve-se lembrar que \rho\ge0, então a equação só define pontos com o sinal compatível das funções trigonométricas; os casos \rho=0 ou \sin\varphi=0 ficam incluídos pela forma fatorada.

Passo 6

Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
  • Em coordenadas polares/cilíndricas, x^{2}+y^{2}=r^{2} e y=r\sin\theta. Substitua e factorize. Completar quadrado em retangulares ajuda a reconhecer o objeto geométrico (um cilindro).
  • Em esféricas, usar x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi e y=\rho\sin\varphi\sin\theta. Fatorar \rho\sin\varphi simplifica a equação e mostra casos especiais ( \rho=0 ou \sin\varphi=0).

Resposta

Cilíndricas: r\bigl(r-6\sin\theta\bigr)=0, ou, não trivialmente, r=6\sin\theta.\n
Esféricas: \rho\sin\varphi\bigl(\rho\sin\varphi-6\sin\theta\bigr)=0, ou, para \sin\varphi\ne0, \rho=\dfrac{6\sin\theta}{\sin\varphi}.

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