As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
h) z^{2}=x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação em coordenadas retangulares e pede para escrevê-la em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas. A equação dada (informação do enunciado) é:
z^{2}=x^{2}-y^{2}.
As tarefas pedidas:
  • Escrever a mesma superfície em coordenadas cilíndricas.
  • Escrever a mesma superfície em coordenadas esféricas.

Passo 2

Lembrete didático sobre coordenadas cilíndricas (definições e significado das variáveis):
  • As coordenadas cilíndricas são (r,\theta,z).
  • Relações com coordenadas retangulares: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • Aqui r\ge 0 é a distância ao eixo z (projeção no plano xy), \theta é o ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x, e z é a mesma coordenada vertical de antes.
    Vou usar essas relações para substituir x e y na equação.

Passo 3

Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta em x^{2}-y^{2}:
x^{2}-y^{2}=(r\cos\theta)^{2}-(r\sin\theta)^{2}=r^{2}\big(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\big).
Usamos a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=\cos 2\theta. Portanto:
x^{2}-y^{2}=r^{2}\cos 2\theta.

Passo 4

Agora substituímos na equação original z^{2}=x^{2}-y^{2}. Em coordenadas cilíndricas isso fica:
z^{2}=r^{2}\cos 2\theta.
Essa é a forma cilíndrica direta. Observações úteis para a prova:
  • Como z^{2}\ge 0, o lado direito também precisa ser não negativo. Assim a equação só tem pontos reais quando \cos 2\theta\ge 0.
  • Alternativamente pode-se escrever de formas equivalentes: r^{2}\cos 2\theta - z^{2}=0, \qquad\text{ou}\qquad z=\pm r\sqrt{\cos 2\theta}\quad\text{(quando }\cos 2\theta\ge 0\text{)}.
  • Exemplos práticos: para \theta=0 tem \cos2\theta=1 e a equação vira z^{2}=r^{2} (ou z=\pm r), enquanto para \theta=\pi/4 tem \cos2\theta=0 e a equação força z=0.

Passo 5

Lembrete didático sobre coordenadas esféricas (definições e significado das variáveis, convenção usada):
  • Vou usar a convenção padrão: (\rho,\varphi,\theta) com x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • Aqui \rho\ge 0 é a distância do ponto à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ângulo colatitude) e \theta\in[0,2\pi) é o mesmo ângulo azimutal do sistema cilíndrico.
    Vou substituir x,y,z nessas expressões na equação original.

Passo 6

Calcule cada termo em esféricas:
z^{2}=(\rho\cos\varphi)^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\varphi.
x^{2}-y^{2}=(\rho\sin\varphi\cos\theta)^{2}-(\rho\sin\varphi\sin\theta)^{2} =\rho^{2}\sin^{2}\varphi\big(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\big) =\rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos 2\theta.
Substituindo esses resultados na equação z^{2}=x^{2}-y^{2} dá:
\rho^{2}\cos^{2}\varphi=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos 2\theta.

Passo 7

Simplificações e interpretação (casos especiais tratados com cuidado):
  • Se \rho=0 estamos na origem, que satisfaz trivialmente a equação; portanto a origem faz parte da superfície.
  • Para \rho\neq 0 podemos dividir por \rho^{2} e obter \cos^{2}\varphi=\sin^{2}\varphi\cos 2\theta.
  • Se \sin\varphi\neq 0 (ou seja, \varphi\neq 0,\pi), podemos escrever em forma mais simples isolando as funções de \varphi: \frac{\cos^{2}\varphi}{\sin^{2}\varphi}=\cos 2\theta \quad\Longrightarrow\quad \cot^{2}\varphi=\cos 2\theta.
  • Portanto, em coordenadas esféricas uma forma conveniente da equação é \cos^{2}\varphi=\sin^{2}\varphi\cos 2\theta,ou, para \sin\varphi\neq 0, \cot^{2}\varphi=\cos 2\theta.
  • Novamente aparece a restrição \cos 2\theta\ge 0 para que o lado direito seja não negativo (já que \cot^{2}\varphi\ge 0). No caso \cos 2\theta=0 a igualdade implica \cos^{2}\varphi=0, ou seja \varphi=\pi/2 (plano equatorial, z=0).

Passo 8

Resumo final das duas formas pedidas (formas que você pode usar direto na prova):
  • Coordenadas cilíndricas: z^{2}=r^{2}\cos 2\theta.
  • Coordenadas esféricas (forma direta e forma simplificada): \rho^{2}\cos^{2}\varphi=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos 2\theta \quad\text{(ou, para }\rho\neq 0\text{),}\quad \cos^{2}\varphi=\sin^{2}\varphi\cos 2\theta,e, quando \sin\varphi\neq 0, \cot^{2}\varphi=\cos 2\theta.
Força aí — essa conversão é só substituir e usar identidades trigonométricas; pratique algumas substituições rápidas para ganhar agilidade na prova.

Resposta

z^{2}=r^{2}\cos 2\theta
\cos^{2}\varphi=\sin^{2}\varphi\cos 2\theta

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