As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
h)
h)
Passo 1
O enunciado dá a equação em coordenadas retangulares e pede para escrevê-la em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas. A equação dada (informação do enunciado) é:
As tarefas pedidas:
- Escrever a mesma superfície em coordenadas cilíndricas.
- Escrever a mesma superfície em coordenadas esféricas.
Passo 2
Lembrete didático sobre coordenadas cilíndricas (definições e significado das variáveis):
- As coordenadas cilíndricas são
. - Relações com coordenadas retangulares:
- Aqui
é a distância ao eixo (projeção no plano ), é o ângulo azimutal no plano medido a partir do eixo , e é a mesma coordenada vertical de antes.
Vou usar essas relações para substituire na equação.
Passo 3
Substituindo
e
em
:
Usamos a identidade trigonométrica
. Portanto:
Passo 4
Agora substituímos na equação original
. Em coordenadas cilíndricas isso fica:
Essa é a forma cilíndrica direta. Observações úteis para a prova:
- Como
, o lado direito também precisa ser não negativo. Assim a equação só tem pontos reais quando . - Alternativamente pode-se escrever de formas equivalentes:
- Exemplos práticos: para
tem e a equação vira (ou ), enquanto para tem e a equação força .
Passo 5
Lembrete didático sobre coordenadas esféricas (definições e significado das variáveis, convenção usada):
- Vou usar a convenção padrão:
com - Aqui
é a distância do ponto à origem, é o ângulo polar medido a partir do eixo (ângulo colatitude) e é o mesmo ângulo azimutal do sistema cilíndrico.
Vou substituirnessas expressões na equação original.
Passo 6
Calcule cada termo em esféricas:
Substituindo esses resultados na equação
dá:
Passo 7
Simplificações e interpretação (casos especiais tratados com cuidado):
- Se
estamos na origem, que satisfaz trivialmente a equação; portanto a origem faz parte da superfície. - Para
podemos dividir por e obter - Se
(ou seja, ), podemos escrever em forma mais simples isolando as funções de : - Portanto, em coordenadas esféricas uma forma conveniente da equação é
ou, para , - Novamente aparece a restrição
para que o lado direito seja não negativo (já que ). No caso a igualdade implica , ou seja (plano equatorial, ).
Passo 8
Resumo final das duas formas pedidas (formas que você pode usar direto na prova):
- Coordenadas cilíndricas:
- Coordenadas esféricas (forma direta e forma simplificada):
e, quando ,
Força aí — essa conversão é só substituir e usar identidades trigonométricas; pratique algumas substituições rápidas para ganhar agilidade na prova.