As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
k)
k)
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície em coordenadas retangulares e pede duas coisas:
- Escrever a mesma equação em coordenadas cilíndricas.
- Escrever a mesma equação em coordenadas esféricas.
Informação dada:
- A equação em coordenadas retangulares é
.
Passo 2
Vamos lembrar as relações de mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas e o que cada símbolo significa (aqui nada muda em
, só mudam
e
).
Definições e relações (cilíndricas):
onde
é a distância radial no plano
e
é o ângulo azimutal. Também vale
Passo 3
Substituir
na equação dada. Começo reescrevendo a equação de forma equivalente:
Agora substituo:
Desenvolvendo:
Podemos também isolar
se for útil na prova:
com a condição de existência
(ou seja
).
Passo 4
Agora as relações para coordenadas esféricas e o que cada símbolo significa. Vou usar a convenção usual:
é a distância da origem,
é o ângulo com o eixo
(medido a partir do eixo
), e
é o ângulo azimutal no plano
.
Relações (esféricas):
e
Passo 5
Substituir as expressões esféricas na equação reescrita
. Primeiro escrevo
e
em termos de
:
Fatorando
:
Assim uma forma explícita é
desde que o denominador seja positivo (o que ocorre para todos os
exceto possivelmente pontos onde o denominador seria zero — aí não haveria solução para
). Outra forma alternativa, usando identidades trigonométricas, é
logo também se pode escrever
Passo 6
Interpretação geométrica rápida (útil para a prova): como a equação foi reescrita como
, nota-se que a superfície não depende de
. Isso descreve um cilindro circular de raio
cujo eixo é o eixo
. Nas coordenadas cilíndricas isso aparece porque a equação envolve
(a coordenada
) e
.