As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
k) x^{2}=16-z^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície em coordenadas retangulares e pede duas coisas:
  • Escrever a mesma equação em coordenadas cilíndricas.
  • Escrever a mesma equação em coordenadas esféricas.
Informação dada:
  • A equação em coordenadas retangulares é \,x^{2}=16-z^{2}\,.

Passo 2

Vamos lembrar as relações de mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas e o que cada símbolo significa (aqui nada muda em z, só mudam x e y).
Definições e relações (cilíndricas):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde \,r\ge 0\, é a distância radial no plano xy e \,\theta\in[0,2\pi)\, é o ângulo azimutal. Também vale
r^{2} = x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Substituir \,x = r\cos\theta\, na equação dada. Começo reescrevendo a equação de forma equivalente:
x^{2}+z^{2}=16.
Agora substituo:
(r\cos\theta)^{2}+z^{2}=16.
Desenvolvendo:
r^{2}\cos^{2}\theta + z^{2} = 16.
Podemos também isolar z se for útil na prova:
z = \pm\sqrt{16 - r^{2}\cos^{2}\theta},
com a condição de existência \,r^{2}\cos^{2}\theta \le 16\, (ou seja |r\cos\theta|\le 4).

Passo 4

Agora as relações para coordenadas esféricas e o que cada símbolo significa. Vou usar a convenção usual:
\,\rho\ge 0\, é a distância da origem, \,\varphi\in[0,\pi]\, é o ângulo com o eixo z (medido a partir do eixo +z), e \,\theta\in[0,2\pi)\, é o ângulo azimutal no plano xy.
Relações (esféricas):
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi,
e
\rho^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Passo 5

Substituir as expressões esféricas na equação reescrita \,x^{2}+z^{2}=16. Primeiro escrevo x e z em termos de \rho,\varphi,\theta:
x^{2}+z^{2} = (\rho\sin\varphi\cos\theta)^{2}+(\rho\cos\varphi)^{2}.
Fatorando \rho^{2}:
\rho^{2}\big(\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta + \cos^{2}\varphi\big) = 16.
Assim uma forma explícita é
\rho^{2} = \frac{16}{\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta + \cos^{2}\varphi},
desde que o denominador seja positivo (o que ocorre para todos os \varphi,\theta exceto possivelmente pontos onde o denominador seria zero — aí não haveria solução para \rho). Outra forma alternativa, usando identidades trigonométricas, é
\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta + \cos^{2}\varphi = 1 - \sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta,
logo também se pode escrever
\rho^{2} = \frac{16}{1 - \sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta}.

Passo 6

Interpretação geométrica rápida (útil para a prova): como a equação foi reescrita como \,x^{2}+z^{2}=16\,, nota-se que a superfície não depende de y. Isso descreve um cilindro circular de raio 4 cujo eixo é o eixo y. Nas coordenadas cilíndricas isso aparece porque a equação envolve r\cos\theta (a coordenada x) e z.

Resposta

\; \text{Cilíndricas: }\; r^{2}\cos^{2}\theta + z^{2} = 16.í
\; \text{Esféricas: }\; \rho^{2}\big(\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta + \cos^{2}\varphi\big) = 16 \quadé (ou equivalentemente \; \rho^{2} = \dfrac{16}{\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta + \cos^{2}\varphi}. )

Exercícios relacionados