1 kgmol de uma mistura equimolar de benzeno e tolueno é colocada em um equipamento de destilação em batelada equivalente a 03 estágios. O refluxo é líquido saturado e a razão de refluxo é igual a 4. Qual a composição média e a quantidade do produto destilado no instante em que sua composição é 55% molar de benzeno? Despreze os holdups e suponha \alpha constante e igual a 2,5 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no instante em que o destilado tem 55\% molar de benzeno:
  1. a composição média do produto destilado até esse instante;
  2. a quantidade (número de mols) do produto destilado até esse instante.
Dados fornecidos (vou listar tudo que a gente tem, direitinho):
  • quantidade inicial: 1 \text{kgmol} (ou seja, 1 kmol) de mistura equimolar; portanto a fração molar inicial de benzeno é \;x_0=0,5.
  • número de estágios (equivalente): N=3.
  • refluxo líquido saturado com razão de refluxo \;R=4.
  • desprezar holdups.
  • volatilidade relativa constante: \alpha=2,5.
  • instante pedido: composição instantânea do destilado x_D=0,55 (fração molar de benzeno no produto no instante).
A estratégia que vamos usar (só identifiquei aqui; a resolução começa no próximo passo):
  • relacionar x_D à composição do líquido na cuba (x_W) através do método de pratos (McCabe–Thiele) fazendo N passos “para baixo” usando a curva de equilíbrio e a reta de operação do enriquecimento; assim obtemos x_W.
  • usar o equilíbrio líquido-vapor para escrever e integrar a equação de Rayleigh (balanço diferencial da cuba) para calcular quanto resta na cuba W.
  • com W e x_W e o balanço global calculamos a quantidade destilada D e a composição média do destilado até o instante pedido.

Passo 2

Primeiro, escrevo a curva de equilíbrio para mistura binária com volatilidade relativa constante \alpha. A fração molar do vapor \;y em equilíbrio com o líquido de fração \;x é
y=\frac{\alpha\,x}{1+(\alpha-1)\,x}.
Aqui \;x é a fração molar de benzeno no líquido e \;y a fração molar de benzeno no vapor em equilíbrio. Para \alpha=2,5 usaremos essa expressão ao longo do cálculo.

Passo 3

Agora a reta de operação da seção enriquecedora (rectifying) para razão de refluxo constante R é
y=\frac{R}{R+1}\,x+\frac{x_D}{R+1}.
Explico: \frac{R}{R+1} é a inclinação da reta e \frac{x_D}{R+1} é o termo independente; \;x_D aparece porque a rectifying line passa pelo ponto (x_D,x_D) quando se inclui o condensado retornado. Para os nossos valores:
\frac{R}{R+1}=\frac{4}{5}=0,8,\qquad \frac{x_D}{R+1}=\frac{0,55}{5}=0,11.
Portanto a reta é
y=0,8\,x+0,11.

Passo 4

Para relacionar \;x_W (composição do líquido na cuba / fundo da seção enriquecedora) com \;x_D usamos o procedimento de McCabe–Thiele “para baixo”: começamos com o líquido do prato superior igual a x_D, calculamos y pela reta de operação, depois encontramos o x imediatamente abaixo pela curva de equilíbrio (resolver y=f(x)); repetimos isso N vezes. Vou mostrar algebra que facilita a conta.
Da curva de equilíbrio temos, isolando x em função de y (fórmula inversa, útil para os passos para baixo):
x=\frac{y}{\alpha-(\alpha-1)\,y}.
Derivação rápida: partir de y=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x} e isolar x.
A iteração “para baixo” de um passo é:
  1. dada uma composição líquida no prato x^{(k)}, a reta dá y^{(k)}=0,8\,x^{(k)}+0,11;
  2. o prato abaixo terá x^{(k+1)}=\dfrac{y^{(k)}}{\alpha-(\alpha-1)\,y^{(k)}}.
Vamos aplicar isso retroativamente: começamos com x^{(0)}=x_D=0,55 e fazemos 3 passos para baixo (pois N=3) para chegar em x_W.

Passo 5

Cálculo numérico dos 3 passos (vou mostrar cada passo):
Passo 0 (topo):
x^{(0)}=x_D=0,55.
Reta:
y^{(0)}=0,8\cdot 0,55+0,11=0,55.
Inverso do equilíbrio:
x^{(1)}=\frac{y^{(0)}}{\alpha-(\alpha-1)y^{(0)}}=\frac{0,55}{2{,}5-1{,}5\cdot 0,55}=\frac{0,55}{1{,}675}=0{,}328358\\ \text{(aprox.)}.

Passo 6

Segundo passo para baixo:
y^{(1)}=0,8\cdot 0{,}328358+0{,}11=0{,}3726866\\ \text{(aprox.)},
x^{(2)}=\frac{y^{(1)}}{2{,}5-1{,}5\,y^{(1)}}=\frac{0{,}3726866}{2{,}5-0{,}5590299}=\frac{0{,}3726866}{1{,}9409701}=0{,}19202\\ \text{(aprox.)}.

Passo 7

Terceiro (e último) passo para baixo:
y^{(2)}=0,8\cdot 0{,}19202+0{,}11=0{,}263616,
x^{(3)}=\frac{y^{(2)}}{2{,}5-1{,}5\,y^{(2)}}=\frac{0{,}263616}{2{,}5-0{,}395424}= \frac{0{,}263616}{2{,}104576}=0{,}12528\\ \text{(aprox.)}.
Esse x^{(3)} é a composição líquida na cuba, ou seja
x_W\approx 0{,}1253.

Passo 8

Agora vamos calcular quanto resta na cuba W usando a equação diferencial de Rayleigh (balanço diferencial sobre a cuba). Vou derivar de forma simples e mostrar a forma integrada para o caso de volatilidade constante.
Balanço diferencial do componente benzeno na cuba:
  • moles na cuba: W; fração molar: x.
  • ao retirar um pequeno destilado dD (positivo), o cubo muda: dW=-dD.
    Balanço componente: W\,dx=(y-x)\,dW.
    Isolando:
\frac{dW}{W}=\frac{dx}{\,y-x\,}.
Integramos de W_0=1 (início) até W correspondente a x_0=0{,}5 até x_W. Assim
\ln\left(\frac{W}{W_0}\right)=\int_{x_0}^{x_W}\frac{dx}{y-x}.
Substituímos y pela expressão de equilíbrio \;y=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}. Para essa y a integral pode ser resolvida analiticamente; o resultado é
\int_{x_0}^{x_W}\frac{dx}{y-x}=\frac{1}{\alpha-1}\ln\!\left(\frac{x_W}{x_0}\right)-\frac{\alpha}{\alpha-1}\ln\!\left(\frac{1-x_W}{1-x_0}\right).
Portanto a equação de Rayleigh integrada fica
\ln\!\left(\frac{W}{W_0}\right)=\frac{1}{\alpha-1}\ln\!\left(\frac{x_W}{x_0}\right)-\frac{\alpha}{\alpha-1}\ln\!\left(\frac{1-x_W}{1-x_0}\right).

Passo 9

Agora aplicamos números: \;W_0=1, \;x_0=0{,}5, \;x_W=0{,}12528, \;\alpha=2{,}5. Então \alpha-1=1{,}5, 1/(\alpha-1)=2/3 e \alpha/(\alpha-1)=5/3.
Calculo dos logaritmos:
\ln\!\left(\frac{x_W}{x_0}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}12528}{0{,}5}\right)=\ln(0{,}25056)=-1{,}38324\\ (\text{aprox.}),
\ln\!\left(\frac{1-x_W}{1-x_0}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}87472}{0{,}5}\right)=\ln(1{,}74944)=0{,}55963\\ (\text{aprox.}).
Logo
\ln\!\left(\frac{W}{1}\right)=\frac{2}{3}(-1{,}38324)-\frac{5}{3}(0{,}55963)=-0{,}92216-0{,}93271=-1{,}85487.
Assim
\frac{W}{1}=e^{-1{,}85487}=0{,}1560\quad\Rightarrow\quad W\approx 0{,}1560\\ \text{kmol}.

Passo 10

Quantidade destilada até o instante é
D=1-W=1-0{,}1560=0{,}8440\\ \text{kmol}.
Agora cálculo da composição média do destilado acumulado até esse instante. Fazemos balanço global de benzeno:
  • benzeno total inicial: 1\cdot x_0=1\cdot 0{,}5=0{,}5\\ \text{kmol}.
  • benzeno na cuba no instante: W\,x_W=0{,}1560\cdot 0{,}12528=0{,}01953\\ \text{kmol} (aprox.).
  • portanto benzeno no destilado acumulado: 0{,}5-0{,}01953=0{,}48047\\ \text{kmol}.
A composição média do produto (fração molar média de benzeno no destilado acumulado) é
\bar{x}_D=\frac{\text{mols benzeno no destilado}}{D}=\frac{0{,}48047}{0{,}8440}=0{,}5694\\ \text{(fração molar)}.çã
Em porcentagem molar: 56{,}94\% de benzeno.

Resposta

Composição média do produto destilado =0,569 (ou 56{,}9\% molar de benzeno).\nQuantidade do produto destilado =0,844\\ \text{kmol}.

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