1 kgmol de uma mistura equimolar de benzeno e tolueno é colocada em um equipamento de destilação em batelada equivalente a 03 estágios. O refluxo é líquido saturado e a razão de refluxo é igual a 4. Qual a composição média e a quantidade do produto destilado no instante em que sua composição é 55% molar de benzeno? Despreze os holdups e suponha
constante e igual a 2,5 .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no instante em que o destilado tem
molar de benzeno:
- a composição média do produto destilado até esse instante;
- a quantidade (número de mols) do produto destilado até esse instante.
Dados fornecidos (vou listar tudo que a gente tem, direitinho):
- quantidade inicial:
(ou seja, kmol) de mistura equimolar; portanto a fração molar inicial de benzeno é . - número de estágios (equivalente):
. - refluxo líquido saturado com razão de refluxo
. - desprezar holdups.
- volatilidade relativa constante:
. - instante pedido: composição instantânea do destilado
(fração molar de benzeno no produto no instante).
A estratégia que vamos usar (só identifiquei aqui; a resolução começa no próximo passo):
- relacionar
à composição do líquido na cuba através do método de pratos (McCabe–Thiele) fazendo N passos “para baixo” usando a curva de equilíbrio e a reta de operação do enriquecimento; assim obtemos . - usar o equilíbrio líquido-vapor para escrever e integrar a equação de Rayleigh (balanço diferencial da cuba) para calcular quanto resta na cuba
. - com
e e o balanço global calculamos a quantidade destilada e a composição média do destilado até o instante pedido.
Passo 2
Primeiro, escrevo a curva de equilíbrio para mistura binária com volatilidade relativa constante
. A fração molar do vapor
em equilíbrio com o líquido de fração
é
Aqui
é a fração molar de benzeno no líquido e
a fração molar de benzeno no vapor em equilíbrio. Para
usaremos essa expressão ao longo do cálculo.
Passo 3
Agora a reta de operação da seção enriquecedora (rectifying) para razão de refluxo constante
é
Explico:
é a inclinação da reta e
é o termo independente;
aparece porque a rectifying line passa pelo ponto
quando se inclui o condensado retornado. Para os nossos valores:
Portanto a reta é
Passo 4
Para relacionar
(composição do líquido na cuba / fundo da seção enriquecedora) com
usamos o procedimento de McCabe–Thiele “para baixo”: começamos com o líquido do prato superior igual a
, calculamos
pela reta de operação, depois encontramos o
imediatamente abaixo pela curva de equilíbrio (resolver
); repetimos isso
vezes. Vou mostrar algebra que facilita a conta.
Da curva de equilíbrio temos, isolando
em função de
(fórmula inversa, útil para os passos para baixo):
Derivação rápida: partir de
e isolar
.
A iteração “para baixo” de um passo é:
- dada uma composição líquida no prato
, a reta dá ; - o prato abaixo terá
.
Vamos aplicar isso retroativamente: começamos com
e fazemos 3 passos para baixo (pois
) para chegar em
.
Passo 5
Cálculo numérico dos 3 passos (vou mostrar cada passo):
Passo 0 (topo):
Passo 0 (topo):
Reta:
Inverso do equilíbrio:
Passo 6
Segundo passo para baixo:
Passo 7
Terceiro (e último) passo para baixo:
Esse
é a composição líquida na cuba, ou seja
Passo 8
Agora vamos calcular quanto resta na cuba
usando a equação diferencial de Rayleigh (balanço diferencial sobre a cuba). Vou derivar de forma simples e mostrar a forma integrada para o caso de volatilidade constante.
Balanço diferencial do componente benzeno na cuba:
- moles na cuba:
; fração molar: . - ao retirar um pequeno destilado
(positivo), o cubo muda: .
Balanço componente:.
Isolando:
Integramos de
(início) até
correspondente a
até
. Assim
Substituímos
pela expressão de equilíbrio
. Para essa
a integral pode ser resolvida analiticamente; o resultado é
Portanto a equação de Rayleigh integrada fica
Passo 9
Agora aplicamos números:
,
,
,
. Então
,
e
.
Calculo dos logaritmos:
Logo
Assim
Passo 10
Quantidade destilada até o instante é
Agora cálculo da composição média do destilado acumulado até esse instante. Fazemos balanço global de benzeno:
- benzeno total inicial:
. - benzeno na cuba no instante:
(aprox.). - portanto benzeno no destilado acumulado:
.
A composição média do produto (fração molar média de benzeno no destilado acumulado) é
Em porcentagem molar:
de benzeno.
Resposta
Composição média do produto destilado
(ou
molar de benzeno).\nQuantidade do produto destilado
.