Um equipamento de destilação em batelada equivalente a 3 estágios é carregado com 100 kgmoles de uma mistura de n-C6 e n-C8 a 20% molar de n-C6. Para uma razão de refluxo interna de 0,5 , qual é a quantidade de material destilado para que sua composição média seja igual a 70 \% molar de \mathrm{n}-\mathrm{C}_{6} ? Sendo a taxa de vapor igual a 10 \mathrm{kgmol} / \mathrm{h}, determine o tempo necessário para essa operação.
Passo 1
Enunciado resumido (o que é dado e o que se pede):\n
Carga (feed inicial): F=100\mathrm{kgmol} de mistura binária \text{n-C}_{6} + \text{n-C}_{8}.\n
Composição inicial (molar) de \text{n-C}_{6}: x_F=0{,}20.\n
Equipamento de destilação em batelada equivalente a N=3 estágios teóricos (foi informado que o conjunto equivale a 3 estágios).\n
Razão de refluxo interna: R=0{,}5 (definição usual: R=L/D, onde L é líquido de refluxo e D é taxa de destilado).\n
Taxa de vapor (taxa de ebulição / vapor que sobe): V=10\mathrm{kgmol/h}.\n
Objetivo 1: determinar a quantidade de material destilado D tal que a composição média do destilado seja \overline{x}_D=0{,}70 (70% molar de \text{n-C}_6).\n
Objetivo 2: com a taxa de vapor dada, determinar o tempo necessário para essa operação (tempo = D dividido pela taxa de destilado instantânea).\n
Observações de leitura do enunciado: ele não fornece dados de equilíbrio vapor–líquido (por exemplo, lei de VLE, constantes de Antoine ou volatilidade relativa \alpha de \text{n-C}_6/\text{n-C}_8). Esses dados são essenciais para relacionar composição do vapor no topo y com a composição do líquido no alambique x, e portanto são cruciais para obter um valor numérico de D quando há fracionamento (mesmo com número finito de estágios e refluxo parcial).
Passo 2
Conceitos-chave e equações que precisamos usar (aula curta e prática):\n
Balanço global de componente (conservação de mols de \text{n-C}_6) durante a operação até que reste B na cuba:\n
F x_F = D \overline{x}_D + B x_B,
onde x_B é a fração molar de \text{n-C}_6 nos fundos (cuba) no ponto final da operação. Note que D = F - B.\n
Dessa equação isolamos B:\n
B = \frac{F\,(x_F - \overline{x}_D)}{x_B - \overline{x}_D}.
Essa fórmula é puramente de balanço de matéria: ela relaciona B e x_B ao alvo \overline{x}_D. Para um dado x_B (composição final na cuba) obtemos B e logo D.\n
2) Equação de Rayleigh (básica para destilação em batelada, descreve variação contínua da composição do líquido do alambique):\n
onde y(x) é a composição do vapor de topo em equilíbrio com a composição x do líquido do alambique. Esta equação liga a quantidade removida B (ou D) à kinetica termodinâmica (via y(x)).\n
3) Relação entre y e x (VLE) é obrigatória: para binários ideais costuma-se usar a forma com volatilidade relativa constante \alpha:\n
y(x)=\frac{\alpha x}{1+(\alpha -1)x},
mas esta forma precisa do valor numérico de \alpha. Alternativamente, pode-se usar tabelas/curvas de VLE ou dados de Antoine para cada componente e aplicar a lei de Raoult.\n
4) Relação entre taxa de vapor V e taxa de destilado D_{\text{taxa}} quando há refluxo fixo R: do balanço no condensador e tambor de refluxo temos\n
V = D_{\text{taxa}} + L,\qquad L = R\,D_{\text{taxa}},
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D_{\text{taxa}} = \frac{V}{1+R}.
No problema dado, com V=10\mathrm{kgmol/h} e R=0{,}5, isto dá\n
Isso determina o tempo quando conhecermos D: \text{tempo}=D/D_{\text{taxa}}.\n
Resumo da metodologia prática: para encontrar D numericamente precisamos (i) expressar B em função de x_B via balanço de componente, (ii) aplicar a equação de Rayleigh que liga B a x_B através de y(x). A função y(x) é indispensável e depende dos dados de equilíbrio (por exemplo \alpha constante ou dados de Raoult).
Passo 3
Porque o enunciado, como está, NÃO permite um valor numérico único:\n
O enunciado não dá a relação y(x) (ou a volatilidade relativa \alpha ou dados de VLE). Sem isso a integral da equação de Rayleigh não pode ser avaliada numericamente, então não é possível calcular x_B e nem B (logo nem D nem o tempo) de maneira única.\n
Além disso, foi dada a informação de que o equipamento é “equivalente a 3 estágios”. Essa informação afeta a rapidez e a qualidade da separação instantânea (ou seja, quanto o vapor do topo é enriquecido dado um refluxo R). Para modelar fielmente a composição do vapor de topo y com refluxo parcial e número finito de estágios é preciso aplicar o procedimento por etapas (McCabe‑Thiele discreto ou relações de estágio em forma algébrica), e isso também requer y(x) (VLE). Portanto a informação “3 estágios” é útil, mas insuficiente sem os dados termodinâmicos.\n
Conclusão: sem a lei de equilíbrio ou valor de \alpha não há como fornecer um número para a quantidade destilada D nem para o tempo. Isto NÃO é um problema de álgebra – é falta de dados físicos.
Passo 4
O que eu posso fazer (duas opções) — escolha do procedimento que você, aluno, pode usar na prova quando tiver os dados:\n
Opção A — procedimento geral (quando você tem VLE ou \alpha):\n
Escolher/obter y(x) (por exemplo, y(x)=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x} se \alpha for aproximadamente constante).\n
Escrever a equação de Rayleigh integrada (para o seu y(x)) e obter a expressão fechada (se possível) ou preparar um cálculo numérico:\n
Substituir B na equação de Rayleigh e resolver numericamente (por iteração) para x_B. Com x_B você obtém B e D.\n
Calcular a taxa de destilado fixa por D_{\text{taxa}}=V/(1+R) e então o tempo: t=D/D_{\text{taxa}}.\n
Opção B — se o professor pedir uso de McCabe‑Thiele discreto com N estágios e refluxo R:\n
Com a curva de VLE y(x) e a reta operacional (retificadora) y = \dfrac{R}{R+1}x + \dfrac{x_D}{R+1} (aqui x_D é a composição do destilado instantâneo no topo), você monta passos de McCabe‑Thiele entre x_D e a composição do alambique x até dar N degraus.\n
Para cada instante (ou para cada pequena quantidade removida) você atualiza a composição do alambique e determina o y no topo; computa a integral/avanço por pequenos incrementos até que a média do destilado atinja \overline{x}_D.\n
Esta opção é mais trabalhosa numericamente, mas leva em conta explicitamente o número finito de estágios (o que o enunciado menciona: “equivalente a 3 estágios”). Novamente, é imprescindível a curva VLE.
Passo 5
Exemplo ilustrativo (opcional, só para ver como ficaria na prática):\n
Se eu escolhesse assumir uma volatilidade relativa constante \alpha (hipótese comum para exercício didático), eu poderia usar a expressão analítica da integral de Rayleigh com y(x)=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}. Nesse caso a integral pode ser resolvida em forma fechada e você faria a iteração numérica em x_B usando a equação do balanço de componente (veja o procedimento do Passo 4). Mas o valor numérico final depende fortemente do valor de \alpha escolhido.\n
Se quiser, eu faço essa conta numérica assumindo um valor de \alpha que você aceite (ou posso testar uma faixa de valores para mostrar sensibilidade). Mas, reforço, isso já seria uma hipótese adicional não presente no enunciado original.
Resposta
Não é possível calcular numericamente a quantidade destilada D nem o tempo requerido sem os dados de equilíbrio vapor–líquido (por exemplo a volatilidade relativa \alpha de \mathrm{n\text{-}C_6}/\mathrm{n\text{-}C_8} ou a curva VLE).\n
Observação prática: a taxa de destilado é D_{\text{taxa}}=\dfrac{V}{1+R}=\dfrac{10}{1{,}5}\approx 6{,}6667\\ \mathrm{kgmol/h}; assim que D for obtido (usando VLE), o tempo será t=D/6{,}6667\\ \mathrm{h}.