Em um equipamento de destilação em batelada equivalente a 03 estágios, é colocada uma carga de 100 kgmoles de uma mistura equimolar de \mathrm{n}-\mathrm{C}_{6}-\mathrm{n}-\mathrm{C}_{8}. A taxa de vapor é 20 kgmoles/h e o destilado tem uma composição igual a 90 \% molar de \mathrm{n}-\mathrm{C}_{6} que é mantida constante pelo ajuste da razão de refluxo. Qual a razão de refluxo 1 hora após o início do processo? E o tempo necessário até o final do processo? A pressão de operação é 1 atm .

Passo 1

Primeiro vamos organizar direitinho o que o enunciado fornece e o que ele pede, pra ficar tudo claro (sem resolver nada ainda).
  • Dados do problema:
    • Carga inicial: N_0=100 kgmol (total de mols no reboiler no tempo inicial).
    • Mistura inicial: equimolar, logo composição inicial do componente mais volátil ( n-C _6) é x_0=0{,}5 (molar).
    • Equipamento: destilação em batelada, equivalente a 3 estágios teóricos (vou chamar de N_{\text{est}}=3).
    • Taxa de vapor constante: V=20 kgmol/h (vapor que sai do reboiler e sobe pela coluna).
    • Composição do destilado (topo) mantida constante: x_D=0{,}90 molar de n-C _6.
    • Pressão de operação: 1 atm.
  • O que o enunciado pergunta:
    1. Qual a razão de refluxo R uma hora ( t=1 h) após o início do processo?
    2. Qual o tempo necessário até o final do processo?
  • Observações importantes que já podemos extrair do enunciado (sem resolver ainda):
    • “Razão de refluxo” R está definida pela convenção usual: R = L/D, onde L é a vazão de refluxo devolvida ao topo e D é a vazão de destilado retirada. Com condensador total e taxa de vapor V temos a relação \;V=L+D\;, o que implica D=\frac{V}{1+R}.
    • O enunciado diz que o operador ajusta R no tempo para manter x_D constante em 0{,}90. Isso significa que R pode ser função do tempo: R=R(t).

Passo 2

Vou montar as equações de balanço fundamentais (muito didático — passo a passo), que nos dão uma relação simples entre a composição no reboiler e a quantidade de material restante, independente de detalhes de equilíbrio.
  • Notações:
    • N(t): total de mols na caldeira (reboiler) no tempo t.
    • x(t): fração molar de n-C _6 na caldeira no tempo t.
    • x_D: fração molar do destilado (dado, 0{,}90).
    • D(t): vazão de destilado (kgmol/h) — igual a V/(1+R(t)).
  • Balanço total de matéria no sistema (reboiler + destilado): o único fluxo que retira massa do reboiler é o destilado D(t). Então \frac{dN}{dt} = -D(t).
  • Balanço do componente mais volátil ( n-C _6) no reboiler: a única forma de perda desse componente do reboiler é via destilado (o refluxo volta ao topo, não retira matéria do sistema). Como o destilado tem composição mantida x_D, \frac{d(Nx)}{dt} = -D(t)\,x_D.
  • Agora desenvolvemos o balanço do componente para obter uma relação simples. Expandindo o lado esquerdo: \frac{d(Nx)}{dt} = N\frac{dx}{dt} + x\frac{dN}{dt}.Substituindo \frac{dN}{dt}=-D e o balanço do componente: N\frac{dx}{dt} + x(-D) = -D x_D.Rearranjando: N\frac{dx}{dt} = D(x - x_D).Dividindo por \frac{dN}{dt}=-D para eliminar D (esta é uma técnica útil porque D pode variar com o tempo): \frac{dx}{dN} = \frac{x - x_D}{N}.
  • Essa equação diferencial é separável. Integramos entre o estado inicial (N_0,x_0) e um estado genérico (N,x): \int_{x_0}^{x}\frac{1}{x - x_D}\,dx = \int_{N_0}^{N}\frac{1}{N}\,dN.Isso dá \ln\!\left(\frac{x - x_D}{x_0 - x_D}\right) = \ln\!\left(\frac{N}{N_0}\right).Exponenciando, \boxed{\frac{x - x_D}{x_0 - x_D} = \frac{N}{N_0}.}
  • Interpretação física desta relação (muito útil na prova): ela diz que, enquanto o destilado for retirado com composição fixa x_D, a diferença entre a composição do reboiler e x_D decai proporcionalmente à fração de moles restantes no reboiler. Essa relação foi obtida apenas por balanços de massa e não depende de como o vapor e o líquido se equilibram na coluna (ou seja, independe da relação de equilíbrio) — desde que você consiga manter x_D constante.

Passo 3

Agora vamos ligar essa relação com a vazão de destilado D e a razão de refluxo R. Aqui aparecem as limitações práticas de dados.
  • Como já escrevi antes, com condensador total e refluxo L=R D valem: V = L + D = R D + D = D(1+R) \quad\Rightarrow\quad D=\frac{V}{1+R}.
  • Total de mols no reboiler evolui segundo \frac{dN}{dt} = -D(t). Portanto, a evolução temporal de N (e logo de x, via a fórmula do Passo 2) depende de D(t), e D(t) depende de R(t).
  • Mas o enunciado diz que o operador ajusta R ao longo do tempo de modo que a composição do destilado fique sempre x_D=0{,}90. Isso fornece uma segunda condição que envolve equilíbrio e eficiência da coluna: para cada estado do reboiler (composição x) existe um valor de R tal que, com N_{\text{est}}=3 estágios, o destilado resulte em x_D. Em outras palavras:
    • Para dado estado do reboiler (composição x e sua vapor correspondente y — determinado pela relação de equilíbrio vapor–líquido), a coluna com 3 estágios e reflux R dará um destilado com uma certa composição; nós queremos escolher R de modo que essa composição seja 0{,}90.
  • Aqui está o ponto crucial: para relacionar a composição no reboiler x à composição do vapor que sai do reboiler y (e daí ao topo através dos 3 estágios) é necessário conhecer os dados de equilíbrio vapor–líquido (VLE) da mistura n-C _6/ n-C _8 à pressão dada. Em termos práticos precisamos de UMA dessas informações:
    • dados experimentais de VLE (tabelas y vs x a 1 atm), ou
    • as constantes de Antoine para cada componente (para usar a Lei de Raoult e calcular pressões de vapor), ou
    • uma aproximação de volatilidade relativa constante \alpha (valor numérico).
  • Sem esses dados de equilíbrio não há como determinar quantitativamente qual refluxo R produz x_D=0{,}90 a partir de uma dada composição do reboiler x. A existência de 3 estágios torna a relação não trivial (temos que aplicar iterativamente a curva de equilíbrio e a reta de operação de McCabe–Thiele), e isso exige conhecimento da curva de equilíbrio.

Passo 4

Vou explicar explicitamente o procedimento que se seguiria (passo a passo) para obter numericamente R em t=1 h e o tempo final, caso fossem fornecidos os dados de equilíbrio. Assim você terá na prova a receita exata para calcular — e verá onde falta informação no enunciado.
Procedimento (a seguir precisa de dados de VLE ou \alpha):
  1. Use a relação do Passo 2 para conectar x com N: x = x_D + \frac{N}{N_0}(x_0 - x_D).Isso vale para qualquer instante, mas note que N depende de quanto foi retirado até aquele instante.
  2. Para um instante t conhecido, a quantidade retirada do reboiler é N_0 - N(t) = \int_0^{t} D(\tau)\,d\tau = \int_0^{t}\frac{V}{1+R(\tau)}\,d\tau.Como R varia no tempo, esse integral só é computável se conhecermos R(\tau) — e R(\tau) só é conhecido após a etapa seguinte. Portanto resolvemos por iteração numérica:
    a. Chute um perfil temporal para R(t) (ou suponha para começar que R é constante num passo de tempo pequeno).
    b. Calcule D(t)=V/(1+R(t)) e integre para obter N(t).
    c. Calcule x(t) pela equação do Passo 2.
    d. Para cada x(t) calcule, a partir dos dados de equilíbrio (ou \alpha), o vapor correspondente y na base da coluna e então simule os N_{\text{est}}=3 passos de equilíbrio + reta de operação (McCabe–Thiele) até o topo; ajuste R(t) para que a composição ao final desses 3 estágios seja x_D.
    e. Repetir a–d até convergir (método numérico iterativo).
  3. Em particular, para encontrar R em t=1 h: faça o passo iterativo apontado acima até que o valor de R(1\text{ h}) que você obteve seja consistente com o x(1\text{ h}) calculado pela integração da vazão de destilado.
  4. Para achar o tempo final do processo (quando o reboiler chega a x=x_D, i.e., quando a diferença x-x_D vai a zero), observe pela relação do Passo 2 que x=x_D implica N=0. Portanto o processo termina quando todo o material do reboiler tiver sido transferido para o destilado (ou quando praticamente N for zero). O tempo final é t_f = \int_0^{t_f} \frac{1+R(t)}{V}\, (V)\, \frac{dt}{1+R(t)} \quad\text{(equivalente a)}\quad N_0 = \int_0^{t_f} D(t)\,dt,ou seja, N_0 = \int_0^{t_f}\frac{V}{1+R(t)}\,dt.Novamente, sem o perfil R(t) (ou a lei de controle que dá R em função de x), não é possível obter t_f numericamente. Na prática obtém-se t_f numericamente durante a simulação iterativa descrita no item 2.

Passo 5

Resumo dos dados que faltam e por que são imprescindíveis (explicação didática e prática — isso costuma cair na prova!) :
  • Para determinar numericamente a razão de refluxo R necessária para que, com N_{\text{est}}=3, o destilado tenha composição constante x_D=0{,}90, é obrigatório saber a relação de equilíbrio vapor–líquido da mistura n-C _6/ n-C _8 à pressão de operação (1 atm). Isso pode ser fornecido como:
    • tabela y vs x a 1 atm; ou
    • constantes de Antoine para cada componente (permite aplicar Raoult e obter y em função de x e temperatura); ou
    • uma volatilidade relativa constante \alpha numérica (aproximação).
  • Sem esse dado de VLE não há forma de conectar a composição do reboiler x com a composição do vapor que entra na primeira etapa e, portanto, não há forma de aplicar McCabe–Thiele (ou outra técnica) para obter R.
  • Além disso, como R é ajustado ao longo do tempo, a solução numérica exige um procedimento iterativo (simulação em passos de tempo) que dependa do mapeamento equilíbrio + etapas teóricas — tudo isso precisa de VLE.

Passo 6

O que eu posso entregar agora, já útil para sua prova, é:
  • A fórmula analítica útil que você deverá usar na prova para relacionar composição do reboiler e quantidade restante: \boxed{\frac{x(t) - x_D}{x_0 - x_D} = \frac{N(t)}{N_0}.}Ela foi deduzida por balanços de massa simples e é válida sempre que x_D for mantido constante.
  • A relação entre vazões e refluxo que você também usa direto: \boxed{D(t)=\frac{V}{1+R(t)}.}
  • A equação para o tempo final do processo: \boxed{N_0 = \int_{0}^{t_f}\frac{V}{1+R(t)}\,dt.}Em particular, se por alguma razão R fosse mantido constante durante todo o processo, essa integral daria t_f = \frac{N_0(1+R)}{V}.(mas atenção: no enunciado R é ajustado no tempo para manter x_D, então R não é constante em geral).

Resposta

Não é possível calcular numericamente a razão de refluxo em t=1 h nem o tempo final t_f com os dados fornecidos, porque faltam as informações de equilíbrio vapor–líquido (VLE) da mistura n-C _6/ n-C _8 à 1 atm (ou uma volatilidade relativa \alpha numérica ou constantes de Antoine). Sem esses dados não é possível relacionar a composição no reboiler com a composição do destilado através dos 3 estágios e, portanto, não se pode obter o valor de R nem integrar o tempo final.

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