Em um equipamento de destilação em batelada equivalente a 03 estágios, é colocada uma carga de 100 kgmoles de uma mistura equimolar de
. A taxa de vapor é 20 kgmoles/h e o destilado tem uma composição igual a
molar de
que é mantida constante pelo ajuste da razão de refluxo. Qual a razão de refluxo 1 hora após o início do processo? E o tempo necessário até o final do processo? A pressão de operação é 1 atm .
Passo 1
Primeiro vamos organizar direitinho o que o enunciado fornece e o que ele pede, pra ficar tudo claro (sem resolver nada ainda).
- Dados do problema:
- Carga inicial:
kgmol (total de mols no reboiler no tempo inicial). - Mistura inicial: equimolar, logo composição inicial do componente mais volátil (
-C ) é (molar). - Equipamento: destilação em batelada, equivalente a 3 estágios teóricos (vou chamar de
). - Taxa de vapor constante:
kgmol/h (vapor que sai do reboiler e sobe pela coluna). - Composição do destilado (topo) mantida constante:
molar de -C . - Pressão de operação:
atm.
- Carga inicial:
- O que o enunciado pergunta:
- Qual a razão de refluxo
uma hora ( h) após o início do processo? - Qual o tempo necessário até o final do processo?
- Qual a razão de refluxo
- Observações importantes que já podemos extrair do enunciado (sem resolver ainda):
- “Razão de refluxo”
está definida pela convenção usual: , onde é a vazão de refluxo devolvida ao topo e é a vazão de destilado retirada. Com condensador total e taxa de vapor temos a relação , o que implica - O enunciado diz que o operador ajusta
no tempo para manter constante em . Isso significa que pode ser função do tempo: .
- “Razão de refluxo”
Passo 2
Vou montar as equações de balanço fundamentais (muito didático — passo a passo), que nos dão uma relação simples entre a composição no reboiler e a quantidade de material restante, independente de detalhes de equilíbrio.
- Notações:
-
: total de mols na caldeira (reboiler) no tempo . -
: fração molar de -C na caldeira no tempo . -
: fração molar do destilado (dado, ). -
: vazão de destilado (kgmol/h) — igual a .
-
- Balanço total de matéria no sistema (reboiler + destilado): o único fluxo que retira massa do reboiler é o destilado
. Então - Balanço do componente mais volátil (
-C ) no reboiler: a única forma de perda desse componente do reboiler é via destilado (o refluxo volta ao topo, não retira matéria do sistema). Como o destilado tem composição mantida , - Agora desenvolvemos o balanço do componente para obter uma relação simples. Expandindo o lado esquerdo:
Substituindo e o balanço do componente: Rearranjando: Dividindo por para eliminar (esta é uma técnica útil porque pode variar com o tempo): - Essa equação diferencial é separável. Integramos entre o estado inicial
e um estado genérico : Isso dá Exponenciando, - Interpretação física desta relação (muito útil na prova): ela diz que, enquanto o destilado for retirado com composição fixa
, a diferença entre a composição do reboiler e decai proporcionalmente à fração de moles restantes no reboiler. Essa relação foi obtida apenas por balanços de massa e não depende de como o vapor e o líquido se equilibram na coluna (ou seja, independe da relação de equilíbrio) — desde que você consiga manter constante.
Passo 3
Agora vamos ligar essa relação com a vazão de destilado
e a razão de refluxo
. Aqui aparecem as limitações práticas de dados.
- Como já escrevi antes, com condensador total e refluxo
valem: - Total de mols no reboiler evolui segundo
. Portanto, a evolução temporal de (e logo de , via a fórmula do Passo 2) depende de , e depende de . - Mas o enunciado diz que o operador ajusta
ao longo do tempo de modo que a composição do destilado fique sempre . Isso fornece uma segunda condição que envolve equilíbrio e eficiência da coluna: para cada estado do reboiler (composição ) existe um valor de tal que, com estágios, o destilado resulte em . Em outras palavras: - Para dado estado do reboiler (composição
e sua vapor correspondente — determinado pela relação de equilíbrio vapor–líquido), a coluna com 3 estágios e reflux dará um destilado com uma certa composição; nós queremos escolher de modo que essa composição seja .
- Para dado estado do reboiler (composição
- Aqui está o ponto crucial: para relacionar a composição no reboiler
à composição do vapor que sai do reboiler (e daí ao topo através dos 3 estágios) é necessário conhecer os dados de equilíbrio vapor–líquido (VLE) da mistura -C / -C à pressão dada. Em termos práticos precisamos de UMA dessas informações: - dados experimentais de VLE (tabelas
vs a 1 atm), ou - as constantes de Antoine para cada componente (para usar a Lei de Raoult e calcular pressões de vapor), ou
- uma aproximação de volatilidade relativa constante
(valor numérico).
- dados experimentais de VLE (tabelas
- Sem esses dados de equilíbrio não há como determinar quantitativamente qual refluxo
produz a partir de uma dada composição do reboiler . A existência de 3 estágios torna a relação não trivial (temos que aplicar iterativamente a curva de equilíbrio e a reta de operação de McCabe–Thiele), e isso exige conhecimento da curva de equilíbrio.
Passo 4
Vou explicar explicitamente o procedimento que se seguiria (passo a passo) para obter numericamente
em
h e o tempo final, caso fossem fornecidos os dados de equilíbrio. Assim você terá na prova a receita exata para calcular — e verá onde falta informação no enunciado.
Procedimento (a seguir precisa de dados de VLE ou
):
- Use a relação do Passo 2 para conectar
com : Isso vale para qualquer instante, mas note que depende de quanto foi retirado até aquele instante. - Para um instante
conhecido, a quantidade retirada do reboiler é Como varia no tempo, esse integral só é computável se conhecermos — e só é conhecido após a etapa seguinte. Portanto resolvemos por iteração numérica:
a. Chute um perfil temporal para(ou suponha para começar que é constante num passo de tempo pequeno).
b. Calculee integre para obter .
c. Calculepela equação do Passo 2.
d. Para cadacalcule, a partir dos dados de equilíbrio (ou ), o vapor correspondente na base da coluna e então simule os passos de equilíbrio + reta de operação (McCabe–Thiele) até o topo; ajuste para que a composição ao final desses 3 estágios seja .
e. Repetir a–d até convergir (método numérico iterativo). - Em particular, para encontrar
em h: faça o passo iterativo apontado acima até que o valor de que você obteve seja consistente com o calculado pela integração da vazão de destilado. - Para achar o tempo final do processo (quando o reboiler chega a
, i.e., quando a diferença vai a zero), observe pela relação do Passo 2 que implica . Portanto o processo termina quando todo o material do reboiler tiver sido transferido para o destilado (ou quando praticamente for zero). O tempo final é ou seja, Novamente, sem o perfil (ou a lei de controle que dá em função de ), não é possível obter numericamente. Na prática obtém-se numericamente durante a simulação iterativa descrita no item 2.
Passo 5
Resumo dos dados que faltam e por que são imprescindíveis (explicação didática e prática — isso costuma cair na prova!) :
- Para determinar numericamente a razão de refluxo
necessária para que, com , o destilado tenha composição constante , é obrigatório saber a relação de equilíbrio vapor–líquido da mistura -C / -C à pressão de operação (1 atm). Isso pode ser fornecido como: - tabela
vs a 1 atm; ou - constantes de Antoine para cada componente (permite aplicar Raoult e obter
em função de e temperatura); ou - uma volatilidade relativa constante
numérica (aproximação).
- tabela
- Sem esse dado de VLE não há forma de conectar a composição do reboiler
com a composição do vapor que entra na primeira etapa e, portanto, não há forma de aplicar McCabe–Thiele (ou outra técnica) para obter . - Além disso, como
é ajustado ao longo do tempo, a solução numérica exige um procedimento iterativo (simulação em passos de tempo) que dependa do mapeamento equilíbrio + etapas teóricas — tudo isso precisa de VLE.
Passo 6
O que eu posso entregar agora, já útil para sua prova, é:
- A fórmula analítica útil que você deverá usar na prova para relacionar composição do reboiler e quantidade restante:
Ela foi deduzida por balanços de massa simples e é válida sempre que for mantido constante. - A relação entre vazões e refluxo que você também usa direto:
- A equação para o tempo final do processo:
Em particular, se por alguma razão fosse mantido constante durante todo o processo, essa integral daria (mas atenção: no enunciado é ajustado no tempo para manter , então não é constante em geral).
Resposta
Não é possível calcular numericamente a razão de refluxo em
h nem o tempo final
com os dados fornecidos, porque faltam as informações de equilíbrio vapor–líquido (VLE) da mistura
-C
/
-C
à
atm (ou uma volatilidade relativa
numérica ou constantes de Antoine). Sem esses dados não é possível relacionar a composição no reboiler com a composição do destilado através dos
estágios e, portanto, não se pode obter o valor de
nem integrar o tempo final.