A mistura contendo quantidades iguais de benzeno e tolueno deve ser destilada em um equipamento equivalente a 4 estágios teóricos sob condições de variação da razão de refluxo, mantendo a composição do produto de topo de 95 \% molar de benzeno. Faça o balanço material para o caso da razão de refluxo final ser de 13,

Passo 1

O enunciado pede que eu faça o balanço material para uma destilação onde:
  • A mistura de alimentação contém quantidades iguais de benzeno e tolueno (ou seja, fração molar de benzeno na alimentação z_F=0,5).
  • O produto de topo (destilado) deve ter composição \,x_D=0,95 molar de benzeno.
  • O equipamento é equivalente a 4 estágios teóricos (informação dada).
  • A razão de refluxo final é R=13.
    A tarefa é: fazer o balanço material para o caso R=13. Todas as informações numéricas relevantes acima já estão listadas.

Passo 2

Primeiro vou definir as variáveis e a hipótese de base (quando o enunciado não dá vazão absoluta, é padrão escolher uma base conveniente):
  • F = vazão molar da alimentação (mol, base escolhida).
  • z_F = fração molar de benzeno na alimentação.
  • D = vazão molar do destilado (mol).
  • W = vazão molar do fundo (mol).
  • x_D = fração molar de benzeno no destilado.
  • x_W = fração molar de benzeno no fundo.
  • L = refluxo líquido (mol) retornado ao topo.
  • V = vapor que sobe do corpo para o condensador (mol).
  • R=\dfrac{L}{D} = razão de refluxo dada.
    Vou escolher como base F=100 mol de alimentação (é uma escolha simples e habitual: os resultados ficarão em mol por 100 mol de alimentação; se quiser, podemos mudar a base depois por proporcionalidade). Assim z_F=0,5 implica 100\cdot0,5=50 mol de benzeno na alimentação.

Passo 3

Escrevo o balanço material total (balanço de moles totais, válida em regime estacionário):
F = D + W.
Explicação didática: a soma das vazões que saem (destilado + fundo) tem de igualar a vazão que entra (alimentação) porque não há acúmulo.

Passo 4

Escrevo o balanço de componente para o benzeno (componente volátil desejado):
F\,z_F = D\,x_D + W\,x_W.
Explicação didática: a quantidade total de benzeno que entra por unidade de tempo é igual à soma do benzeno que sai no destilado e no fundo.

Passo 5

Nota sobre grau de liberdade do sistema e hipótese necessária:
Com as equações dos passos anteriores temos duas equações ( F=D+W e balanço de benzeno) e três incógnitas ( D,W,x_W), porque não foi dada a composição do fundo x_W nem a recuperação desejada. Para fechar numericamente o problema preciso de uma hipótese adicional. Uma hipótese prática e comum para exercício introdutório é assumir que todo o benzeno da alimentação é recuperado no destilado (ou seja, o fundo fica praticamente sem benzeno). Vou adotar essa hipótese para poder obter números concretos e mostrar o procedimento. Isto significa tomar
x_W = 0 \quad\text{(fundo praticamente puro em tolueno)}.
Justificativa didática: com x_D=0,95 e alimentação com metade benzeno, atingir alto rendimento faz sentido em muitos projetos; além disso a hipótese permite fechar o balanço e exemplificar o cálculo de vazões internas (refluxo, vapor). Se você quiser outra hipótese (por exemplo recuperação parcial), o procedimento é o mesmo e eu repito os cálculos para essa hipótese.

Passo 6

Com x_W=0 e F=100 mol e z_F=0,5, resolvo o balanço de benzeno para D:
F z_F = D x_D + W x_W = D x_D + W\cdot 0 = D x_D.
Logo
D = \dfrac{F z_F}{x_D}.
Substituindo os valores:
D = \dfrac{100\cdot 0,5}{0,95} = \dfrac{50}{0,95} = 52{,}631578\ldots
Arredondando com duas casas decimais:
D = 52{,}63\\ \text{mol} \;(\text{por }100\\ \text{mol de alimentação}).çã
Em seguida, da equação total W=F-D:
W = 100 - 52{,}63 = 47{,}37\\ \text{mol}.

Passo 7

Verificação dos componentes (contagem de mols por componente):
  • Benzeno na alimentação: F z_F = 100\cdot 0,5 = 50 mol.
  • Benzeno no destilado: D x_D = 52{,}63\cdot 0,95 = 50{,}00 mol (confere com a hipótese de recuperação total).
  • Benzeno no fundo: W x_W = 47{,}37\cdot 0 = 0 mol.
  • Tolueno na alimentação: 100-50=50 mol.
  • Tolueno no destilado: D(1-x_D)=52{,}63\cdot 0,05 = 2{,}63 mol.
  • Tolueno no fundo: W(1-0)=47{,}37 mol.
    Verificação de fechamento para o tolueno: 2{,}63+47{,}37=50 mol (confere).

Passo 8

Agora calculo os fluxos internos relacionados à razão de refluxo R. A definição é
R=\dfrac{L}{D}\quad\Rightarrow\quad L = R\,D.
Com R=13 e D=52{,}63:
L = 13\cdot 52{,}63 = 684{,}19\\ \text{mol}.
No condensador, o vapor que chega V é dividido em destilado D e refluxo L, logo
V = D + L = D(1+R).
Assim
V = 52{,}63\cdot(1+13)=52{,}63\cdot 14 = 736{,}82\\ \text{mol}.
Observação didática: esses fluxos internos ( L e V) são muito maiores que a alimentação — isso é normal quando a razão de refluxo é alta: aumenta-se a recirculação líquida para melhorar a separação, ao custo de mais energia e movimentação interna.

Passo 9

Resumo dos resultados por 100 mol de alimentação (feitos e checados):
  • F=100 mol (base).
  • z_F=0,5.
  • x_D=0,95.
  • D=52{,}63 mol.
  • W=47{,}37 mol.
  • Composição do destilado: benzeno =50{,}00 mol, tolueno =2{,}63 mol.
  • Composição do fundo: benzeno =0 mol, tolueno =47{,}37 mol.
  • Refluxo L=684{,}19 mol.
  • Vapor V=736{,}82 mol.
    Observação final didática: a hipótese de fundo sem benzeno foi usada para fechar o problema; se no seu enunciado houver especificação da recuperação de benzeno ou da composição do fundo x_W, o mesmo procedimento (balanços total e de componente) com essa x_W daria os valores de D e W. Além disso, a informação de 4 estágios é relevante para cálculo da razão de refluxo mínima, dos estágios necessários e da monotonia da operação (métodos de McCabe–Thiele, Fenske–Underwood–Gilliland), que exigiriam dados termodinâmicos (volatilidade relativa) não fornecidos aqui.

Resposta

Base F=100 mol de alimentação.
D = 52{,}63 mol.
W = 47{,}37 mol.
Destilado: benzeno = 50{,}00 mol, tolueno = 2{,}63 mol.
Fundo: benzeno = 0 mol, tolueno = 47{,}37 mol.
Refluxo L = 684{,}19 mol.
Vapor no topo V = 736{,}82 mol.

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