Uma mistura de benzeno e tolueno deve ser separada em um equipamento de destilação em batelada simples, composto somente do vaporizador e condensador. A carga F é igual a 2 kgmoles com composição de 55 \% molar de benzeno e a volatilidade do benzeno em relação ao tolueno constante e igual a 2,5 . Determine:
A composição do destilado para \mathrm{X}_{\mathrm{B}, \mathrm{f}}=0,2,

Passo 1

O enunciado dá uma mistura binária (benzeno + tolueno) com carga total F=2 kmoles e composição molar inicial de benzeno \,z_F=0,55. A volatilidade relativa do benzeno em relação ao tolueno é constante e igual a \alpha=2{,}5. Foi pedido: determinar a composição do destilado quando a composição final do resíduo (fundo) é \,X_{B,f}=0{,}2.
Informações relevantes listadas:
F=2\quad\text{(kmoles)},\qquad z_F=0{,}55,\qquad \alpha=2{,}5,\qquad x_W=X_{B,f}=0{,}2.
O que precisa ser obtido: a composição média do destilado coletado (fração molar de benzeno no destilado acumulado) quando se destila da condição inicial até que o resíduo chegue a \,x_W=0{,}2.

Passo 2

Qual método vamos usar (explicando devagar como se eu estivesse do seu lado): para destilação em batelada sem coluna (apenas caldeira + condensador), a operação é diferencial e o balanço de massa combinado com o equilíbrio vapor–líquido leva à chamada equação de Rayleigh. Essa equação relaciona a variação da quantidade de líquido no reator com a composição do líquido e do vapor, e permite calcular quanto do carregamento permanece nos fundos W quando a composição do líquido vai de x_F (inicial) a x_W (final). Depois usamos o balanço do componente benzeno para achar a composição média do destilado acumulado.
Vou explicar e usar as fórmulas passo a passo, sem pular contas.

Passo 3

Equilíbrio vapor–líquido com volatilidade relativa constante: para um binário, a fração molar de benzeno na fase vapor y em equilíbrio com a fração molar x na fase líquida, com volatilidade relativa constante \alpha, é dada por
y=\frac{\alpha\,x}{1+(\alpha-1)\,x}.
Aqui:
  • \,x é a fração molar de benzeno na fase líquida do pote,
  • \,y é a fração molar de benzeno no vapor formado (que é o que entra no condensador),
  • \alpha é a volatilidade relativa constante ( \alpha>1 indica que o benzeno é mais volátil).

Passo 4

Equação de Rayleigh (origem e forma): ao destilar diferencialmente, a quantidade de líquido no pote W diminui e a composição do líquido vai mudando. A equação diferencial que descreve isso, obtida por balanço total e de componente para um pequeno intervalo, é
-\frac{dW}{W}=\frac{dx}{y-x},
onde x é a composição instantânea do líquido no pote e y é a composição do vapor em equilíbrio com esse x. Integrando de condição inicial W=F e x=x_F até W=W e x=x_W, obtemos a forma integrada:
\ln\!\left(\frac{F}{W}\right)=\int_{x_W}^{x_F}\frac{dx}{y-x}.
Esse é o ponto central: vamos calcular a integral usando a relação de equilíbrio do passo anterior.

Passo 5

Simplificação da integral usando y com \alpha constante. Começo substituindo y e desenvolvendo y-x:
y-x=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}-x =\frac{\alpha x - x\big(1+(\alpha-1)x\big)}{1+(\alpha-1)x}.
No numerador:
\alpha x - x\big(1+(\alpha-1)x\big)=\alpha x - x - (\alpha-1)x^2=(\alpha-1)x(1-x).
Logo
y-x=\frac{(\alpha-1)x(1-x)}{1+(\alpha-1)x}.
Portanto o integrando vira
\frac{1}{y-x}=\frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)}.
Agora decompondo a fração para integrar:
\frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)} =\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{x}+\frac{\alpha}{1-x}\right).
(Explicação curta: isso vem de escrever \dfrac{1+(\alpha-1)x}{x(1-x)}=\dfrac{1}{x(1-x)}+\dfrac{\alpha-1}{1-x} e então \dfrac{1}{x(1-x)}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}, combinando termos obtém-se a forma com \alpha.)
Integrando entre x_W e x_F:
\int_{x_W}^{x_F}\frac{dx}{y-x} =\frac{1}{\alpha-1}\left[\ln x - \alpha\ln(1-x)\right]_{x_W}^{x_F}.
Portanto a equação de Rayleigh integrada fica:
\ln\!\left(\frac{F}{W}\right) =\frac{1}{\alpha-1}\Big(\ln x_F - \alpha\ln(1-x_F)\;-\;\ln x_W + \alpha\ln(1-x_W)\Big).

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro recordando os dados:
\alpha=2{,}5,\quad x_F=z_F=0{,}55,\quad x_W=0{,}2,\quad F=2.
Calculo termodinâmico passo a passo (uso log natural):
\ln x_F=\ln(0{,}55)\approx -0{,}597837,
\ln(1-x_F)=\ln(0{,}45)\approx -0{,}798508,
\ln x_W=\ln(0{,}2)\approx -1{,}609438,
\ln(1-x_W)=\ln(0{,}8)\approx -0{,}223144.
Agora o numerador da expressão:
\ln x_F - \alpha\ln(1-x_F) \approx -0{,}597837 - 2{,}5(-0{,}798508) \approx -0{,}597837 + 1{,}996270 \approx 1{,}398433.
E
\ln x_W - \alpha\ln(1-x_W) \approx -1{,}609438 - 2{,}5(-0{,}223144) \approx -1{,}609438 + 0{,}557860 \approx -1{,}051579.
Subtraindo:
\Big(\ln x_F - \alpha\ln(1-x_F)\Big) - \Big(\ln x_W - \alpha\ln(1-x_W)\Big) \approx 1{,}398433 - (-1{,}051579) = 2{,}450012.
Dividindo por \alpha-1=1{,}5:
\ln\!\left(\frac{F}{W}\right) \approx \frac{2{,}450012}{1{,}5} \approx 1{,}633341.
Assim
\frac{F}{W} \approx e^{1{,}633341}\approx 5{,}122.
Portanto
W=\frac{F}{5{,}122}\approx \frac{2}{5{,}122}\approx 0{,}3905\\ \text{(kmoles)}.
E a quantidade destilada acumulada é
D=F-W\approx 2-0{,}3905=1{,}6095\\ \text{(kmoles)}.

Passo 7

Agora fazemos o balanço de componente (benzeno) para achar a composição média do destilado acumulado \bar{y}_D. Balanço do benzeno:
F z_F = W x_W + D \bar{y}_D.
Isolando \bar{y}_D:
\bar{y}_D=\frac{F z_F - W x_W}{D}.
Substituindo números:
F z_F = 2\cdot 0{,}55 = 1{,}1000\\ \text{(kmoles de benzeno inicial)},
W x_W = 0{,}3905\cdot 0{,}2 = 0{,}07810\\ \text{(kmoles de benzeno nos fundos)}.
Logo benzeno no destilado acumulado:
1{,}1000 - 0{,}07810 = 1{,}02190\\ \text{(kmoles)}.
Então
\bar{y}_D=\frac{1{,}02190}{1{,}6095}\approx 0{,}6349 \approx 0{,}635.
Interpretação: \,0{,}635 significa 63{,}5\% em base molar de benzeno no destilado acumulado obtido ao destilar a carga inicial até que os fundos atinjam x_W=0{,}2.

Passo 8

Resumo e incentivo rápido: aplicamos a equação de Rayleigh (que deriva de um balanço diferencial) junto com a expressão de equilíbrio para volatilidade relativa constante, integramos cuidadosamente e fizemos o balanço do componente. Mesmo com muitos passos aritméticos, a ideia é sempre a mesma: relacionar quantidades por balanço total e por balanço do componente usando a relação y(x) do equilíbrio.
Você conseguiu! Com calma, esses passos são repetitivos e viram rotina — na prova, memorize a forma integrada final e pratique a simplificação da integral para ganhar tempo.

Resposta

\bar{y}_D=0{,}635

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