Uma mistura de benzeno e tolueno deve ser separada em um equipamento de destilação em batelada simples, composto somente do vaporizador e condensador. A carga F é igual a 2 kgmoles com composição de
molar de benzeno e a volatilidade do benzeno em relação ao tolueno constante e igual a 2,5 . Determine:
A composição do destilado para
,
A composição do destilado para
Passo 1
O enunciado dá uma mistura binária (benzeno + tolueno) com carga total
kmoles e composição molar inicial de benzeno
. A volatilidade relativa do benzeno em relação ao tolueno é constante e igual a
. Foi pedido: determinar a composição do destilado quando a composição final do resíduo (fundo) é
.
Informações relevantes listadas:
O que precisa ser obtido: a composição média do destilado coletado (fração molar de benzeno no destilado acumulado) quando se destila da condição inicial até que o resíduo chegue a
.
Passo 2
Qual método vamos usar (explicando devagar como se eu estivesse do seu lado): para destilação em batelada sem coluna (apenas caldeira + condensador), a operação é diferencial e o balanço de massa combinado com o equilíbrio vapor–líquido leva à chamada equação de Rayleigh. Essa equação relaciona a variação da quantidade de líquido no reator com a composição do líquido e do vapor, e permite calcular quanto do carregamento permanece nos fundos
quando a composição do líquido vai de
(inicial) a
(final). Depois usamos o balanço do componente benzeno para achar a composição média do destilado acumulado.
Vou explicar e usar as fórmulas passo a passo, sem pular contas.
Passo 3
Equilíbrio vapor–líquido com volatilidade relativa constante: para um binário, a fração molar de benzeno na fase vapor
em equilíbrio com a fração molar
na fase líquida, com volatilidade relativa constante
, é dada por
Aqui:
-
é a fração molar de benzeno na fase líquida do pote, -
é a fração molar de benzeno no vapor formado (que é o que entra no condensador), -
é a volatilidade relativa constante ( indica que o benzeno é mais volátil).
Passo 4
Equação de Rayleigh (origem e forma): ao destilar diferencialmente, a quantidade de líquido no pote
diminui e a composição do líquido vai mudando. A equação diferencial que descreve isso, obtida por balanço total e de componente para um pequeno intervalo, é
onde
é a composição instantânea do líquido no pote e
é a composição do vapor em equilíbrio com esse
. Integrando de condição inicial
e
até
e
, obtemos a forma integrada:
Esse é o ponto central: vamos calcular a integral usando a relação de equilíbrio do passo anterior.
Passo 5
Simplificação da integral usando
com
constante. Começo substituindo
e desenvolvendo
:
No numerador:
Logo
Portanto o integrando vira
Agora decompondo a fração para integrar:
(Explicação curta: isso vem de escrever
e então
, combinando termos obtém-se a forma com
.)
Integrando entre
e
:
Portanto a equação de Rayleigh integrada fica:
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro recordando os dados:
Calculo termodinâmico passo a passo (uso log natural):
Agora o numerador da expressão:
E
Subtraindo:
Dividindo por
:
Assim
Portanto
E a quantidade destilada acumulada é
Passo 7
Agora fazemos o balanço de componente (benzeno) para achar a composição média do destilado acumulado
. Balanço do benzeno:
Isolando
:
Substituindo números:
Logo benzeno no destilado acumulado:
Então
Interpretação:
significa
em base molar de benzeno no destilado acumulado obtido ao destilar a carga inicial até que os fundos atinjam
.
Passo 8
Resumo e incentivo rápido: aplicamos a equação de Rayleigh (que deriva de um balanço diferencial) junto com a expressão de equilíbrio para volatilidade relativa constante, integramos cuidadosamente e fizemos o balanço do componente. Mesmo com muitos passos aritméticos, a ideia é sempre a mesma: relacionar quantidades por balanço total e por balanço do componente usando a relação
do equilíbrio.
Você conseguiu! Com calma, esses passos são repetitivos e viram rotina — na prova, memorize a forma integrada final e pratique a simplificação da integral para ganhar tempo.