Em um projeto de infraestrutura elétrica, 8 cabos distintos devem ser instalados em uma sequência específica, mas apenas 6 cabos serão usados inicialmente.
Se dois cabos devem obrigatoriamente ser instalados nas primeiras posições, quantas sequências restam para os 4 cabos restantes?
Se dois cabos devem obrigatoriamente ser instalados nas primeiras posições, quantas sequências restam para os 4 cabos restantes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de organização aqui envolvendo cabos para um projeto elétrico. São 8 cabos diferentes que precisam ser instalados em uma ordem específica, mas por enquanto só vamos usar 6 deles. Além disso, dois cabos já têm que estar necessariamente nas duas primeiras posições. O que a gente precisa descobrir é: de quantas maneiras diferentes a gente pode organizar os 4 cabos que faltam depois desses dois primeiros.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação e arranjo, que são partes da matemática combinatória que lidam com a contagem de maneiras de organizar itens em sequência.
Passo 2
Primeiro, como temos que usar 6 cabos no total e 2 já estão fixos nas primeiras posições, restam 6 cabos disponíveis para escolher (já que originalmente tínhamos 8 e já usamos 2).
Passo 3
Agora, precisamos selecionar 4 cabos entre esses 6 que sobraram para preencher as próximas quatro posições. A ordem em que esses cabos são colocados importa, então estamos falando de um problema de arranjo.
Passo 4
A fórmula para calcular o número de arranjos de $ k $ elementos escolhidos de um conjunto de $ n $ é:
Onde $ n! $ é o fatorial de $ n $, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até $ n $.
Passo 5
Aplicando a fórmula, temos $ n = 6 $ e $ k = 4 $:
Passo 6
Calculando os fatoriais:
Passo 7
Agora, dividindo:
Resposta
Então, restam 360 sequências possíveis para os 4 cabos restantes.