A equipe de controle de qualidade de uma empresa avaliou a qualidade de 30 produtos e constatou que 22 deles encontram-se dentro dos limites especificados. Usando a tabela a seguir, assinale a opção que fornece um intervalo de confiança de
98% para a proporção de produtos dessa empresa que se encontra dentro dos limites especificados.
a) I C:[0,65 ; 0,81]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística sobre intervalo de confiança para proporção. A situação é a seguinte: uma equipe avaliou 30 produtos e descobriu que 22 deles estão dentro dos limites especificados de qualidade. Nosso objetivo é encontrar um intervalo de confiança de 98% para a verdadeira proporção de produtos que passam nesse controle de qualidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Essencialmente, ele nos dá uma faixa de valores onde acreditamos que a verdadeira proporção da população (todos os produtos) esteja, com um certo nível de confiança (neste caso, 98%).

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Número total de produtos avaliados ( n): 30
  • Número de produtos dentro dos limites ( x): 22

Passo 4

A proporção amostral ( p) é calculada dividindo o número de sucessos pelo total:
p = xn = 2230 approx 0,7333
Isso significa que, na nossa amostra, aproximadamente 73,33% dos produtos passaram no controle de qualidade.

Passo 5

Para calcular o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
IC = p pm Z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • Z é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado (98%).
  • p é a proporção amostral.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 6

Primeiro, precisamos encontrar o valor de Z correspondente a um intervalo de confiança de 98%. Consultando a tabela Z ou usando uma ferramenta de cálculo, vemos que:
Z approx 2,326

Passo 7

Agora, vamos calcular o erro padrão:
raizp(1 - p)n = raiz0,7333 times (1 - 0,7333)30 approx raiz0,7333 times 0,266730 approx raiz0,195630 approx raiz0,00652 approx 0,0807

Passo 8

Multiplicamos o erro padrão pelo valor de Z:
2,326 times 0,0807 approx 0,1877

Passo 9

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
IC = 0,7333 pm 0,1877
Isso nos dá:
IC approx [0,7333 - 0,1877; 0,7333 + 0,1877] approx [0,5456; 0,9210]

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a proporção de produtos dentro dos limites especificados é aproximadamente IC: [0,55 ; 0,92].

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